Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31479 / 15154
↖ ↑ ↗
← N 69.064638°
W  7.080689°		 ← 218.27 m → N 69.064638°
W  7.075195°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
N 69.062675°
W  7.080689°		 ← 218.29 m →
47 643 m²		 N 69.062675°
W  7.075195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480339050292969 y=0.231239318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480339050292969 × 216)
    floor (0.480339050292969 × 65536)
    floor (31479.5)     		tx = 31479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231239318847656 × 216)
    floor (0.231239318847656 × 65536)
    floor (15154.5)     		ty = 15154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31479 / 15154 ti = "16/31479/15154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31479/15154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31479 ÷ 216
    31479 ÷ 65536     		x = 0.480331420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15154 ÷ 216
    15154 ÷ 65536     		y = 0.231231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480331420898438 × 2 - 1) × π
    -0.039337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12358133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231231689453125 × 2 - 1) × π
    0.53753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68872109981534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12358133} λ = -0.12358133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68872109981534))-π/2
    2×atan(5.4125541603804)-π/2
    2×1.38810082797397-π/2
    2.77620165594793-1.57079632675     		φ = 1.20540533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12358133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.080689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20540533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.064638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31479 KachelY 15154 -0.12358133 1.20540533 -7.080689 69.064638
    Oben rechts KachelX + 1 31480 KachelY 15154 -0.12348545 1.20540533 -7.075195 69.064638
    Unten links KachelX 31479 KachelY + 1 15155 -0.12358133 1.20537107 -7.080689 69.062675
    Unten rechts KachelX + 1 31480 KachelY + 1 15155 -0.12348545 1.20537107 -7.075195 69.062675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20540533-1.20537107) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20540533-1.20537107) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12358133--0.12348545) × cos(1.20540533) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.357314506579322 × 6371000     		do = 218.266095169464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12358133--0.12348545) × cos(1.20537107) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.357346504665697 × 6371000     		du = 218.285641247883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20540533)-sin(1.20537107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357314506579322-0.357346504665697)×R²
    abs(-0.12348545--0.12358133)×3.19980863744407e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.19980863744407e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.19980863744407e-05×40589641000000     		ar = 47643.1741653172m²