Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31478 / 39541
↖ ↑ ↗
← S 34.836350°
W  7.086182°		 ← 501.33 m → S 34.836350°
W  7.080689°		 →
↑
501.33 m
↓
↑
501.33 m
↓
S 34.840859°
W  7.086182°		 ← 501.30 m →
251 325 m²		 S 34.840859°
W  7.080689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480323791503906 y=0.603355407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480323791503906 × 216)
    floor (0.480323791503906 × 65536)
    floor (31478.5)     		tx = 31478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603355407714844 × 216)
    floor (0.603355407714844 × 65536)
    floor (39541.5)     		ty = 39541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31478 / 39541 ti = "16/31478/39541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31478/39541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31478 ÷ 216
    31478 ÷ 65536     		x = 0.480316162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39541 ÷ 216
    39541 ÷ 65536     		y = 0.603347778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480316162109375 × 2 - 1) × π
    -0.03936767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12367720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603347778320312 × 2 - 1) × π
    -0.206695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.649353242253281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12367720} λ = -0.12367720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.649353242253281))-π/2
    2×atan(0.522383523119542)-π/2
    2×0.481393660047102-π/2
    0.962787320094205-1.57079632675     		φ = -0.60800901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12367720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.086182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60800901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.836350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31478 KachelY 39541 -0.12367720 -0.60800901 -7.086182 -34.836350
    Oben rechts KachelX + 1 31479 KachelY 39541 -0.12358133 -0.60800901 -7.080689 -34.836350
    Unten links KachelX 31478 KachelY + 1 39542 -0.12367720 -0.60808770 -7.086182 -34.840859
    Unten rechts KachelX + 1 31479 KachelY + 1 39542 -0.12358133 -0.60808770 -7.080689 -34.840859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60800901--0.60808770) × R
    7.86900000000479e-05 × 6371000     		dl = 501.333990000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60800901--0.60808770) × R
    7.86900000000479e-05 × 6371000     		dr = 501.333990000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12367720--0.12358133) × cos(-0.60800901) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820786965917607 × 6371000     		do = 501.32664055787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12367720--0.12358133) × cos(-0.60808770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.820742012940354 × 6371000     		du = 501.299183829139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60800901)-sin(-0.60808770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820786965917607-0.820742012940354)×R²
    abs(-0.12358133--0.12367720)×4.49529772532653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49529772532653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49529772532653e-05×40589641000000     		ar = 251325.202638754m²