Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31477 / 38350
↖ ↑ ↗
← S 29.295981°
W  7.091675°		 ← 532.67 m → S 29.295981°
W  7.086182°		 →
↑
532.68 m
↓
↑
532.68 m
↓
S 29.300771°
W  7.091675°		 ← 532.65 m →
283 736 m²		 S 29.300771°
W  7.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480308532714844 y=0.585182189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480308532714844 × 216)
    floor (0.480308532714844 × 65536)
    floor (31477.5)     		tx = 31477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585182189941406 × 216)
    floor (0.585182189941406 × 65536)
    floor (38350.5)     		ty = 38350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31477 / 38350 ti = "16/31477/38350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31477/38350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31477 ÷ 216
    31477 ÷ 65536     		x = 0.480300903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38350 ÷ 216
    38350 ÷ 65536     		y = 0.585174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480300903320312 × 2 - 1) × π
    -0.039398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12377307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.17034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.535167547358307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12377307} λ = -0.12377307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535167547358307))-π/2
    2×atan(0.585571171022418)-π/2
    2×0.5297425042292-π/2
    1.0594850084584-1.57079632675     		φ = -0.51131132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12377307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.091675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51131132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.295981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31477 KachelY 38350 -0.12377307 -0.51131132 -7.091675 -29.295981
    Oben rechts KachelX + 1 31478 KachelY 38350 -0.12367720 -0.51131132 -7.086182 -29.295981
    Unten links KachelX 31477 KachelY + 1 38351 -0.12377307 -0.51139493 -7.091675 -29.300771
    Unten rechts KachelX + 1 31478 KachelY + 1 38351 -0.12367720 -0.51139493 -7.086182 -29.300771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51131132--0.51139493) × R
    8.36100000000117e-05 × 6371000     		dl = 532.679310000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51131132--0.51139493) × R
    8.36100000000117e-05 × 6371000     		dr = 532.679310000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12377307--0.12367720) × cos(-0.51131132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872103600873606 × 6371000     		do = 532.670213586548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12377307--0.12367720) × cos(-0.51139493) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872062685673644 × 6371000     		du = 532.645223082804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51131132)-sin(-0.51139493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872103600873606-0.872062685673644)×R²
    abs(-0.12367720--0.12377307)×4.09151999622992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09151999622992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09151999622992e-05×40589641000000     		ar = 283735.746034116m²