Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31477 / 14631
↖ ↑ ↗
← N 70.067457°
W  7.091675°		 ← 208.23 m → N 70.067457°
W  7.086182°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
N 70.065584°
W  7.091675°		 ← 208.24 m →
43 369 m²		 N 70.065584°
W  7.086182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480308532714844 y=0.223258972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480308532714844 × 216)
    floor (0.480308532714844 × 65536)
    floor (31477.5)     		tx = 31477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223258972167969 × 216)
    floor (0.223258972167969 × 65536)
    floor (14631.5)     		ty = 14631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31477 / 14631 ti = "16/31477/14631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31477/14631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31477 ÷ 216
    31477 ÷ 65536     		x = 0.480300903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14631 ÷ 216
    14631 ÷ 65536     		y = 0.223251342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480300903320312 × 2 - 1) × π
    -0.039398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12377307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223251342773438 × 2 - 1) × π
    0.553497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73886309681792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12377307} λ = -0.12377307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73886309681792))-π/2
    2×atan(5.69086977545769)-π/2
    2×1.39685207875358-π/2
    2.79370415750716-1.57079632675     		φ = 1.22290783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12377307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.091675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22290783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.067457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31477 KachelY 14631 -0.12377307 1.22290783 -7.091675 70.067457
    Oben rechts KachelX + 1 31478 KachelY 14631 -0.12367720 1.22290783 -7.086182 70.067457
    Unten links KachelX 31477 KachelY + 1 14632 -0.12377307 1.22287514 -7.091675 70.065584
    Unten rechts KachelX + 1 31478 KachelY + 1 14632 -0.12367720 1.22287514 -7.086182 70.065584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22290783-1.22287514) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22290783-1.22287514) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12377307--0.12367720) × cos(1.22290783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340913556040008 × 6371000     		do = 208.225830656442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12377307--0.12367720) × cos(1.22287514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340944287551892 × 6371000     		du = 208.244601088054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22290783)-sin(1.22287514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340913556040008-0.340944287551892)×R²
    abs(-0.12367720--0.12377307)×3.07315118833196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07315118833196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07315118833196e-05×40589641000000     		ar = 43368.7298607461m²