Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31475 / 14637
↖ ↑ ↗
← N 70.056218°
W  7.102661°		 ← 208.34 m → N 70.056218°
W  7.097168°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
N 70.054345°
W  7.102661°		 ← 208.36 m →
43 405 m²		 N 70.054345°
W  7.097168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480278015136719 y=0.223350524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480278015136719 × 216)
    floor (0.480278015136719 × 65536)
    floor (31475.5)     		tx = 31475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223350524902344 × 216)
    floor (0.223350524902344 × 65536)
    floor (14637.5)     		ty = 14637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31475 / 14637 ti = "16/31475/14637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31475/14637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31475 ÷ 216
    31475 ÷ 65536     		x = 0.480270385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14637 ÷ 216
    14637 ÷ 65536     		y = 0.223342895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480270385742188 × 2 - 1) × π
    -0.039459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12396482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223342895507812 × 2 - 1) × π
    0.553314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73828785402248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12396482} λ = -0.12396482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73828785402248))-π/2
    2×atan(5.68759708500561)-π/2
    2×1.39675399820317-π/2
    2.79350799640635-1.57079632675     		φ = 1.22271167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12396482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.102661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22271167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.056218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31475 KachelY 14637 -0.12396482 1.22271167 -7.102661 70.056218
    Oben rechts KachelX + 1 31476 KachelY 14637 -0.12386895 1.22271167 -7.097168 70.056218
    Unten links KachelX 31475 KachelY + 1 14638 -0.12396482 1.22267897 -7.102661 70.054345
    Unten rechts KachelX + 1 31476 KachelY + 1 14638 -0.12386895 1.22267897 -7.097168 70.054345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22271167-1.22267897) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22271167-1.22267897) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12396482--0.12386895) × cos(1.22271167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341097958446026 × 6371000     		do = 208.338461390796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12396482--0.12386895) × cos(1.22267897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341128697171287 × 6371000     		du = 208.357236228251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22271167)-sin(1.22267897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341097958446026-0.341128697171287)×R²
    abs(-0.12386895--0.12396482)×3.07387252614921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07387252614921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07387252614921e-05×40589641000000     		ar = 43405.461537691m²