Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31474 / 14639
↖ ↑ ↗
← N 70.052471°
W  7.108155°		 ← 208.40 m → N 70.052471°
W  7.102661°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
N 70.050596°
W  7.108155°		 ← 208.42 m →
43 431 m²		 N 70.050596°
W  7.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480262756347656 y=0.223381042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480262756347656 × 216)
    floor (0.480262756347656 × 65536)
    floor (31474.5)     		tx = 31474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223381042480469 × 216)
    floor (0.223381042480469 × 65536)
    floor (14639.5)     		ty = 14639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31474 / 14639 ti = "16/31474/14639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31474/14639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31474 ÷ 216
    31474 ÷ 65536     		x = 0.480255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14639 ÷ 216
    14639 ÷ 65536     		y = 0.223373413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480255126953125 × 2 - 1) × π
    -0.03948974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12406070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223373413085938 × 2 - 1) × π
    0.553253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.738096106424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12406070} λ = -0.12406070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.738096106424))-π/2
    2×atan(5.6865066064751)-π/2
    2×1.39672129289853-π/2
    2.79344258579705-1.57079632675     		φ = 1.22264626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12406070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.108155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22264626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.052471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31474 KachelY 14639 -0.12406070 1.22264626 -7.108155 70.052471
    Oben rechts KachelX + 1 31475 KachelY 14639 -0.12396482 1.22264626 -7.102661 70.052471
    Unten links KachelX 31474 KachelY + 1 14640 -0.12406070 1.22261355 -7.108155 70.050596
    Unten rechts KachelX + 1 31475 KachelY + 1 14640 -0.12396482 1.22261355 -7.102661 70.050596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22264626-1.22261355) × R
    3.27100000001579e-05 × 6371000     		dl = 208.395410001006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22264626-1.22261355) × R
    3.27100000001579e-05 × 6371000     		dr = 208.395410001006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12406070--0.12396482) × cos(1.22264626) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		do = 208.397751852575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12406070--0.12396482) × cos(1.22261355) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.341190192327367 × 6371000     		du = 208.41653394464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22264626)-sin(1.22261355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341159444931838-0.341190192327367)×R²
    abs(-0.12396482--0.12406070)×3.07473955289961e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07473955289961e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07473955289961e-05×40589641000000     		ar = 43431.0919950469m²