Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31473 / 14640
↖ ↑ ↗
← N 70.050596°
W  7.113647°		 ← 208.39 m → N 70.050596°
W  7.108155°		 →
↑
208.40 m
↓
↑
208.40 m
↓
N 70.048722°
W  7.113647°		 ← 208.41 m →
43 430 m²		 N 70.048722°
W  7.108155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480247497558594 y=0.223396301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480247497558594 × 216)
    floor (0.480247497558594 × 65536)
    floor (31473.5)     		tx = 31473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223396301269531 × 216)
    floor (0.223396301269531 × 65536)
    floor (14640.5)     		ty = 14640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31473 / 14640 ti = "16/31473/14640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31473/14640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31473 ÷ 216
    31473 ÷ 65536     		x = 0.480239868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14640 ÷ 216
    14640 ÷ 65536     		y = 0.223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480239868164062 × 2 - 1) × π
    -0.039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12415657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223388671875 × 2 - 1) × π
    0.55322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73800023262476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12415657} λ = -0.12415657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73800023262476))-π/2
    2×atan(5.68596144561607)-π/2
    2×1.39670493803546-π/2
    2.79340987607093-1.57079632675     		φ = 1.22261355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12415657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22261355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.050596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31473 KachelY 14640 -0.12415657 1.22261355 -7.113647 70.050596
    Oben rechts KachelX + 1 31474 KachelY 14640 -0.12406070 1.22261355 -7.108155 70.050596
    Unten links KachelX 31473 KachelY + 1 14641 -0.12415657 1.22258084 -7.113647 70.048722
    Unten rechts KachelX + 1 31474 KachelY + 1 14641 -0.12406070 1.22258084 -7.108155 70.048722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22261355-1.22258084) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dl = 208.395409999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22261355-1.22258084) × R
    3.27099999999358e-05 × 6371000     		dr = 208.395409999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12415657--0.12406070) × cos(1.22261355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341190192327367 × 6371000     		do = 208.394796717499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12415657--0.12406070) × cos(1.22258084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341220939357841 × 6371000     		du = 208.413576627676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22261355)-sin(1.22258084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341190192327367-0.341220939357841)×R²
    abs(-0.12406070--0.12415657)×3.07470304743984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07470304743984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07470304743984e-05×40589641000000     		ar = 43430.4759312755m²