Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31468 / 39564
↖ ↑ ↗
← S 34.939985°
W  7.141113°		 ← 500.69 m → S 34.939985°
W  7.135620°		 →
↑
500.70 m
↓
↑
500.70 m
↓
S 34.944488°
W  7.141113°		 ← 500.67 m →
250 689 m²		 S 34.944488°
W  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480171203613281 y=0.603706359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480171203613281 × 216)
    floor (0.480171203613281 × 65536)
    floor (31468.5)     		tx = 31468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603706359863281 × 216)
    floor (0.603706359863281 × 65536)
    floor (39564.5)     		ty = 39564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31468 / 39564 ti = "16/31468/39564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31468/39564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31468 ÷ 216
    31468 ÷ 65536     		x = 0.48016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39564 ÷ 216
    39564 ÷ 65536     		y = 0.60369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48016357421875 × 2 - 1) × π
    -0.0396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12463594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.2073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.651558339635803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12463594} λ = -0.12463594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651558339635803))-π/2
    2×atan(0.521232885680085)-π/2
    2×0.480489272658752-π/2
    0.960978545317503-1.57079632675     		φ = -0.60981778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12463594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.141113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60981778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.939985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31468 KachelY 39564 -0.12463594 -0.60981778 -7.141113 -34.939985
    Oben rechts KachelX + 1 31469 KachelY 39564 -0.12454007 -0.60981778 -7.135620 -34.939985
    Unten links KachelX 31468 KachelY + 1 39565 -0.12463594 -0.60989637 -7.141113 -34.944488
    Unten rechts KachelX + 1 31469 KachelY + 1 39565 -0.12454007 -0.60989637 -7.135620 -34.944488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60981778--0.60989637) × R
    7.85899999999895e-05 × 6371000     		dl = 500.696889999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60981778--0.60989637) × R
    7.85899999999895e-05 × 6371000     		dr = 500.696889999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12463594--0.12454007) × cos(-0.60981778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819752392145632 × 6371000     		do = 500.694735550785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12463594--0.12454007) × cos(-0.60989637) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819707379699091 × 6371000     		du = 500.66724249894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60981778)-sin(-0.60989637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819752392145632-0.819707379699091)×R²
    abs(-0.12454007--0.12463594)×4.50124465413149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50124465413149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50124465413149e-05×40589641000000     		ar = 250689.414215731m²