Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31468 / 13285
↖ ↑ ↗
← N 72.440507°
W  7.141113°		 ← 184.27 m → N 72.440507°
W  7.135620°		 →
↑
184.25 m
↓
↑
184.25 m
↓
N 72.438850°
W  7.141113°		 ← 184.29 m →
33 954 m²		 N 72.438850°
W  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480171203613281 y=0.202720642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480171203613281 × 216)
    floor (0.480171203613281 × 65536)
    floor (31468.5)     		tx = 31468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202720642089844 × 216)
    floor (0.202720642089844 × 65536)
    floor (13285.5)     		ty = 13285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31468 / 13285 ti = "16/31468/13285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31468/13285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31468 ÷ 216
    31468 ÷ 65536     		x = 0.48016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13285 ÷ 216
    13285 ÷ 65536     		y = 0.202713012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48016357421875 × 2 - 1) × π
    -0.0396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12463594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202713012695312 × 2 - 1) × π
    0.594573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86790923059511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12463594} λ = -0.12463594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86790923059511))-π/2
    2×atan(6.47474503900639)-π/2
    2×1.417560843958-π/2
    2.83512168791601-1.57079632675     		φ = 1.26432536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12463594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.141113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26432536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.440507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31468 KachelY 13285 -0.12463594 1.26432536 -7.141113 72.440507
    Oben rechts KachelX + 1 31469 KachelY 13285 -0.12454007 1.26432536 -7.135620 72.440507
    Unten links KachelX 31468 KachelY + 1 13286 -0.12463594 1.26429644 -7.141113 72.438850
    Unten rechts KachelX + 1 31469 KachelY + 1 13286 -0.12454007 1.26429644 -7.135620 72.438850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26432536-1.26429644) × R
    2.89199999998768e-05 × 6371000     		dl = 184.249319999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26432536-1.26429644) × R
    2.89199999998768e-05 × 6371000     		dr = 184.249319999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12463594--0.12454007) × cos(1.26432536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301695927019303 × 6371000     		do = 184.272182482199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12463594--0.12454007) × cos(1.26429644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301723499342584 × 6371000     		du = 184.289023320049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26432536)-sin(1.26429644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301695927019303-0.301723499342584)×R²
    abs(-0.12454007--0.12463594)×2.75723232813219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75723232813219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75723232813219e-05×40589641000000     		ar = 33953.5757757367m²