Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31463 / 19799
↖ ↑ ↗
← N 57.824280°
W  7.168579°		 ← 325.29 m → N 57.824280°
W  7.163086°		 →
↑
325.30 m
↓
↑
325.30 m
↓
N 57.821355°
W  7.168579°		 ← 325.32 m →
105 822 m²		 N 57.821355°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480094909667969 y=0.302116394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480094909667969 × 216)
    floor (0.480094909667969 × 65536)
    floor (31463.5)     		tx = 31463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302116394042969 × 216)
    floor (0.302116394042969 × 65536)
    floor (19799.5)     		ty = 19799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31463 / 19799 ti = "16/31463/19799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31463/19799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31463 ÷ 216
    31463 ÷ 65536     		x = 0.480087280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19799 ÷ 216
    19799 ÷ 65536     		y = 0.302108764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480087280273438 × 2 - 1) × π
    -0.039825439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12511531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302108764648438 × 2 - 1) × π
    0.395782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24338730234502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12511531} λ = -0.12511531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24338730234502))-π/2
    2×atan(3.46733851929677)-π/2
    2×1.2900102033346-π/2
    2.58002040666921-1.57079632675     		φ = 1.00922408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12511531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.168579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00922408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.824280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31463 KachelY 19799 -0.12511531 1.00922408 -7.168579 57.824280
    Oben rechts KachelX + 1 31464 KachelY 19799 -0.12501943 1.00922408 -7.163086 57.824280
    Unten links KachelX 31463 KachelY + 1 19800 -0.12511531 1.00917302 -7.168579 57.821355
    Unten rechts KachelX + 1 31464 KachelY + 1 19800 -0.12501943 1.00917302 -7.163086 57.821355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00922408-1.00917302) × R
    5.10600000001027e-05 × 6371000     		dl = 325.303260000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00922408-1.00917302) × R
    5.10600000001027e-05 × 6371000     		dr = 325.303260000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12511531--0.12501943) × cos(1.00922408) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532517634969443 × 6371000     		do = 325.289185447253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12511531--0.12501943) × cos(1.00917302) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532560852424716 × 6371000     		du = 325.315584893768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00922408)-sin(1.00917302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532517634969443-0.532560852424716)×R²
    abs(-0.12501943--0.12511531)×4.32174552730258e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.32174552730258e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.32174552730258e-05×40589641000000     		ar = 105821.926405023m²