Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31463 / 14774
↖ ↑ ↗
← N 69.797930°
W  7.168579°		 ← 210.95 m → N 69.797930°
W  7.163086°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
N 69.796033°
W  7.168579°		 ← 210.97 m →
44 500 m²		 N 69.796033°
W  7.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480094909667969 y=0.225440979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480094909667969 × 216)
    floor (0.480094909667969 × 65536)
    floor (31463.5)     		tx = 31463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225440979003906 × 216)
    floor (0.225440979003906 × 65536)
    floor (14774.5)     		ty = 14774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31463 / 14774 ti = "16/31463/14774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31463/14774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31463 ÷ 216
    31463 ÷ 65536     		x = 0.480087280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14774 ÷ 216
    14774 ÷ 65536     		y = 0.225433349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480087280273438 × 2 - 1) × π
    -0.039825439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12511531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225433349609375 × 2 - 1) × π
    0.54913330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72515314352658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12511531} λ = -0.12511531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72515314352658))-π/2
    2×atan(5.61338061677507)-π/2
    2×1.39450000793139-π/2
    2.78900001586278-1.57079632675     		φ = 1.21820369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12511531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.168579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21820369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.797930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31463 KachelY 14774 -0.12511531 1.21820369 -7.168579 69.797930
    Oben rechts KachelX + 1 31464 KachelY 14774 -0.12501943 1.21820369 -7.163086 69.797930
    Unten links KachelX 31463 KachelY + 1 14775 -0.12511531 1.21817058 -7.168579 69.796033
    Unten rechts KachelX + 1 31464 KachelY + 1 14775 -0.12501943 1.21817058 -7.163086 69.796033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21820369-1.21817058) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21820369-1.21817058) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12511531--0.12501943) × cos(1.21820369) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.34533210454779 × 6371000     		do = 210.946627154577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12511531--0.12501943) × cos(1.21817058) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.345363177449415 × 6371000     		du = 210.965608082522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21820369)-sin(1.21817058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34533210454779-0.345363177449415)×R²
    abs(-0.12501943--0.12511531)×3.10729016247402e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.10729016247402e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.10729016247402e-05×40589641000000     		ar = 44499.8871974251m²