Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31461 / 38046
↖ ↑ ↗
← S 27.829361°
W  7.179566°		 ← 540.20 m → S 27.829361°
W  7.174072°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
S 27.834219°
W  7.179566°		 ← 540.18 m →
291 774 m²		 S 27.834219°
W  7.174072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480064392089844 y=0.580543518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480064392089844 × 216)
    floor (0.480064392089844 × 65536)
    floor (31461.5)     		tx = 31461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580543518066406 × 216)
    floor (0.580543518066406 × 65536)
    floor (38046.5)     		ty = 38046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31461 / 38046 ti = "16/31461/38046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31461/38046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31461 ÷ 216
    31461 ÷ 65536     		x = 0.480056762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38046 ÷ 216
    38046 ÷ 65536     		y = 0.580535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480056762695312 × 2 - 1) × π
    -0.039886474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12530706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.16107177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.506021912389313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12530706} λ = -0.12530706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506021912389313))-π/2
    2×atan(0.602889160617102)-π/2
    2×0.542541175539358-π/2
    1.08508235107872-1.57079632675     		φ = -0.48571398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12530706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.179566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48571398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.829361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31461 KachelY 38046 -0.12530706 -0.48571398 -7.179566 -27.829361
    Oben rechts KachelX + 1 31462 KachelY 38046 -0.12521118 -0.48571398 -7.174072 -27.829361
    Unten links KachelX 31461 KachelY + 1 38047 -0.12530706 -0.48579876 -7.179566 -27.834219
    Unten rechts KachelX + 1 31462 KachelY + 1 38047 -0.12521118 -0.48579876 -7.174072 -27.834219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48571398--0.48579876) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dl = 540.133380000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48571398--0.48579876) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dr = 540.133380000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12530706--0.12521118) × cos(-0.48571398) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884341860203097 × 6371000     		do = 540.201534130973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12530706--0.12521118) × cos(-0.48579876) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		du = 540.177355491247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48571398)-sin(-0.48579876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884341860203097-0.884302278339882)×R²
    abs(-0.12521118--0.12530706)×3.95818632148437e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95818632148437e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95818632148437e-05×40589641000000     		ar = 291774.350840879m²