Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3146 / 3190
↖ ↑ ↗
← S 70.318738°
E 96.503907°		 ← 3 291.42 m → S 70.318738°
E 96.591797°		 →
↑
3 289.03 m
↓
↑
3 289.03 m
↓
S 70.348317°
E 96.503907°		 ← 3 286.67 m →
10 817 756 m²		 S 70.348317°
E 96.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7681884765625 y=0.7789306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7681884765625 × 212)
    floor (0.7681884765625 × 4096)
    floor (3146.5)     		tx = 3146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7789306640625 × 212)
    floor (0.7789306640625 × 4096)
    floor (3190.5)     		ty = 3190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3146 / 3190 ti = "12/3146/3190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3146/3190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3146 ÷ 212
    3146 ÷ 4096     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3190 ÷ 212
    3190 ÷ 4096     		y = 0.77880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75180605971533))-π/2
    2×atan(0.173460380573478)-π/2
    2×0.171751407256281-π/2
    0.343502814512562-1.57079632675     		φ = -1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3146 KachelY 3190 1.68431091 -1.22729351 96.503907 -70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 3147 KachelY 3190 1.68584489 -1.22729351 96.591797 -70.318738
    Unten links KachelX 3146 KachelY + 1 3191 1.68431091 -1.22780976 96.503907 -70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 3147 KachelY + 1 3191 1.68584489 -1.22780976 96.591797 -70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22729351--1.22780976) × R
    0.000516249999999996 × 6371000     		dl = 3289.02874999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22729351--1.22780976) × R
    0.000516249999999996 × 6371000     		dr = 3289.02874999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68584489) × cos(-1.22729351) × R
    0.00153398000000005 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 3291.41811864051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68584489) × cos(-1.22780976) × R
    0.00153398000000005 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 3286.66711886964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22729351)-sin(-1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.336301200453459)×R²
    abs(1.68584489-1.68431091)×0.000486135914746666×R²
    0.00153398000000005×0.000486135914746666×6371000²
    0.00153398000000005×0.000486135914746666×40589641000000     		ar = 10817755.9733138m²