Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31458 / 103135
↖ ↑ ↗
← S 71.271713°
W 93.598023°		 ← 98.07 m → S 71.271713°
W 93.595276°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.272594°
W 93.598023°		 ← 98.06 m →
9 615 m²		 S 71.272594°
W 93.595276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240009307861328 y=0.786861419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240009307861328 × 217)
    floor (0.240009307861328 × 131072)
    floor (31458.5)     		tx = 31458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786861419677734 × 217)
    floor (0.786861419677734 × 131072)
    floor (103135.5)     		ty = 103135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31458 / 103135 ti = "17/31458/103135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31458/103135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31458 ÷ 217
    31458 ÷ 131072     		x = 0.240005493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103135 ÷ 217
    103135 ÷ 131072     		y = 0.786857604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240005493164062 × 2 - 1) × π
    -0.519989013671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.63359367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786857604980469 × 2 - 1) × π
    -0.573715209960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.80237948881449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63359367} λ = -1.63359367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80237948881449))-π/2
    2×atan(0.164906028953495)-π/2
    2×0.163435136950235-π/2
    0.326870273900471-1.57079632675     		φ = -1.24392605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63359367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.598023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24392605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.271713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31458 KachelY 103135 -1.63359367 -1.24392605 -93.598023 -71.271713
    Oben rechts KachelX + 1 31459 KachelY 103135 -1.63354573 -1.24392605 -93.595276 -71.271713
    Unten links KachelX 31458 KachelY + 1 103136 -1.63359367 -1.24394144 -93.598023 -71.272594
    Unten rechts KachelX + 1 31459 KachelY + 1 103136 -1.63354573 -1.24394144 -93.595276 -71.272594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24392605--1.24394144) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24392605--1.24394144) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63359367--1.63354573) × cos(-1.24392605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321080595526437 × 6371000     		do = 98.0662784882385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63359367--1.63354573) × cos(-1.24394144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32106602036008 × 6371000     		du = 98.0618268572681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24392605)-sin(-1.24394144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321080595526437-0.32106602036008)×R²
    abs(-1.63354573--1.63359367)×1.45751663574445e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45751663574445e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45751663574445e-05×40589641000000     		ar = 9615.14996475781m²