Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31457 / 103137
↖ ↑ ↗
← S 71.273476°
W 93.600769°		 ← 98.04 m → S 71.273476°
W 93.598023°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.274358°
W 93.600769°		 ← 98.03 m →
9 612 m²		 S 71.274358°
W 93.598023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240001678466797 y=0.786876678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240001678466797 × 217)
    floor (0.240001678466797 × 131072)
    floor (31457.5)     		tx = 31457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786876678466797 × 217)
    floor (0.786876678466797 × 131072)
    floor (103137.5)     		ty = 103137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31457 / 103137 ti = "17/31457/103137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31457/103137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31457 ÷ 217
    31457 ÷ 131072     		x = 0.239997863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103137 ÷ 217
    103137 ÷ 131072     		y = 0.786872863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.239997863769531 × 2 - 1) × π
    -0.520004272460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.63364160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786872863769531 × 2 - 1) × π
    -0.573745727539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.80247536261373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63364160} λ = -1.63364160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80247536261373))-π/2
    2×atan(0.164890219543848)-π/2
    2×0.16341974604083-π/2
    0.32683949208166-1.57079632675     		φ = -1.24395683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63364160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.600769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24395683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.273476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31457 KachelY 103137 -1.63364160 -1.24395683 -93.600769 -71.273476
    Oben rechts KachelX + 1 31458 KachelY 103137 -1.63359367 -1.24395683 -93.598023 -71.273476
    Unten links KachelX 31457 KachelY + 1 103138 -1.63364160 -1.24397222 -93.600769 -71.274358
    Unten rechts KachelX + 1 31458 KachelY + 1 103138 -1.63359367 -1.24397222 -93.598023 -71.274358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24395683--1.24397222) × R
    1.53900000001705e-05 × 6371000     		dl = 98.0496900010865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24395683--1.24397222) × R
    1.53900000001705e-05 × 6371000     		dr = 98.0496900010865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63364160--1.63359367) × cos(-1.24395683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321051445117677 × 6371000     		do = 98.0369210156275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63364160--1.63359367) × cos(-1.24397222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321036869799233 × 6371000     		du = 98.0324702667994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24395683)-sin(-1.24397222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321051445117677-0.321036869799233)×R²
    abs(-1.63359367--1.63364160)×1.45753184445097e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45753184445097e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45753184445097e-05×40589641000000     		ar = 9612.27151722329m²