Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31456 / 14751
↖ ↑ ↗
← N 69.841515°
W  7.207031°		 ← 210.49 m → N 69.841515°
W  7.201538°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
N 69.839622°
W  7.207031°		 ← 210.51 m →
44 309 m²		 N 69.839622°
W  7.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479988098144531 y=0.225090026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479988098144531 × 216)
    floor (0.479988098144531 × 65536)
    floor (31456.5)     		tx = 31456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225090026855469 × 216)
    floor (0.225090026855469 × 65536)
    floor (14751.5)     		ty = 14751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31456 / 14751 ti = "16/31456/14751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31456/14751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31456 ÷ 216
    31456 ÷ 65536     		x = 0.47998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14751 ÷ 216
    14751 ÷ 65536     		y = 0.225082397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47998046875 × 2 - 1) × π
    -0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225082397460938 × 2 - 1) × π
    0.549835205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7273582409091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12578642} λ = -0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7273582409091))-π/2
    2×atan(5.62577232512087)-π/2
    2×1.39488035966206-π/2
    2.78976071932412-1.57079632675     		φ = 1.21896439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21896439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.841515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31456 KachelY 14751 -0.12578642 1.21896439 -7.207031 69.841515
    Oben rechts KachelX + 1 31457 KachelY 14751 -0.12569055 1.21896439 -7.201538 69.841515
    Unten links KachelX 31456 KachelY + 1 14752 -0.12578642 1.21893135 -7.207031 69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 31457 KachelY + 1 14752 -0.12569055 1.21893135 -7.201538 69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21896439-1.21893135) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21896439-1.21893135) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12578642--0.12569055) × cos(1.21896439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344618102548639 × 6371000     		do = 210.48852235731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12578642--0.12569055) × cos(1.21893135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 210.507466477256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21896439)-sin(1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344618102548639-0.344649118428257)×R²
    abs(-0.12569055--0.12578642)×3.10158796175686e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10158796175686e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10158796175686e-05×40589641000000     		ar = 44309.3731529978m²