Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31455 / 39514
↖ ↑ ↗
← S 34.714524°
W  7.212525°		 ← 502.12 m → S 34.714524°
W  7.207031°		 →
↑
502.10 m
↓
↑
502.10 m
↓
S 34.719040°
W  7.212525°		 ← 502.09 m →
252 107 m²		 S 34.719040°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479972839355469 y=0.602943420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479972839355469 × 216)
    floor (0.479972839355469 × 65536)
    floor (31455.5)     		tx = 31455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602943420410156 × 216)
    floor (0.602943420410156 × 65536)
    floor (39514.5)     		ty = 39514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31455 / 39514 ti = "16/31455/39514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31455/39514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31455 ÷ 216
    31455 ÷ 65536     		x = 0.479965209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39514 ÷ 216
    39514 ÷ 65536     		y = 0.602935791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602935791015625 × 2 - 1) × π
    -0.20587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.646764649673798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12588230} λ = -0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646764649673798))-π/2
    2×atan(0.523737512939064)-π/2
    2×0.482456786599294-π/2
    0.964913573198588-1.57079632675     		φ = -0.60588275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60588275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.714524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31455 KachelY 39514 -0.12588230 -0.60588275 -7.212525 -34.714524
    Oben rechts KachelX + 1 31456 KachelY 39514 -0.12578642 -0.60588275 -7.207031 -34.714524
    Unten links KachelX 31455 KachelY + 1 39515 -0.12588230 -0.60596156 -7.212525 -34.719040
    Unten rechts KachelX + 1 31456 KachelY + 1 39515 -0.12578642 -0.60596156 -7.207031 -34.719040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60588275--0.60596156) × R
    7.88099999999847e-05 × 6371000     		dl = 502.098509999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60588275--0.60596156) × R
    7.88099999999847e-05 × 6371000     		dr = 502.098509999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(-0.60588275) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.821999702508413 × 6371000     		do = 502.119734836785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(-0.60596156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.821954818612892 × 6371000     		du = 502.092317442778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60588275)-sin(-0.60596156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821999702508413-0.821954818612892)×R²
    abs(-0.12578642--0.12588230)×4.48838955204867e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48838955204867e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48838955204867e-05×40589641000000     		ar = 252106.687717256m²