Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31455 / 38049
↖ ↑ ↗
← S 27.843933°
W  7.212525°		 ← 540.13 m → S 27.843933°
W  7.207031°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
S 27.848791°
W  7.212525°		 ← 540.10 m →
291 735 m²		 S 27.848791°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479972839355469 y=0.580589294433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479972839355469 × 216)
    floor (0.479972839355469 × 65536)
    floor (31455.5)     		tx = 31455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580589294433594 × 216)
    floor (0.580589294433594 × 65536)
    floor (38049.5)     		ty = 38049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31455 / 38049 ti = "16/31455/38049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31455/38049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31455 ÷ 216
    31455 ÷ 65536     		x = 0.479965209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38049 ÷ 216
    38049 ÷ 65536     		y = 0.580581665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580581665039062 × 2 - 1) × π
    -0.161163330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.506309533787033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12588230} λ = -0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506309533787033))-π/2
    2×atan(0.602715781728989)-π/2
    2×0.542414006257394-π/2
    1.08482801251479-1.57079632675     		φ = -0.48596831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48596831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.843933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31455 KachelY 38049 -0.12588230 -0.48596831 -7.212525 -27.843933
    Oben rechts KachelX + 1 31456 KachelY 38049 -0.12578642 -0.48596831 -7.207031 -27.843933
    Unten links KachelX 31455 KachelY + 1 38050 -0.12588230 -0.48605309 -7.212525 -27.848791
    Unten rechts KachelX + 1 31456 KachelY + 1 38050 -0.12578642 -0.48605309 -7.207031 -27.848791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48596831--0.48605309) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dl = 540.133380000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48596831--0.48605309) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dr = 540.133380000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(-0.48596831) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884223100216223 × 6371000     		do = 540.128989417227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(-0.48605309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.88418349928645 × 6371000     		du = 540.104799130666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48596831)-sin(-0.48605309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884223100216223-0.88418349928645)×R²
    abs(-0.12578642--0.12588230)×3.96009297730648e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96009297730648e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96009297730648e-05×40589641000000     		ar = 291735.163874054m²