Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31455 / 19490
↖ ↑ ↗
← N 58.716894°
W  7.212525°		 ← 317.20 m → N 58.716894°
W  7.207031°		 →
↑
317.15 m
↓
↑
317.15 m
↓
N 58.714042°
W  7.212525°		 ← 317.22 m →
100 602 m²		 N 58.714042°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479972839355469 y=0.297401428222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479972839355469 × 216)
    floor (0.479972839355469 × 65536)
    floor (31455.5)     		tx = 31455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297401428222656 × 216)
    floor (0.297401428222656 × 65536)
    floor (19490.5)     		ty = 19490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31455 / 19490 ti = "16/31455/19490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31455/19490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31455 ÷ 216
    31455 ÷ 65536     		x = 0.479965209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19490 ÷ 216
    19490 ÷ 65536     		y = 0.297393798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297393798828125 × 2 - 1) × π
    0.40521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27301230631021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12588230} λ = -0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27301230631021))-π/2
    2×atan(3.57159511280194)-π/2
    2×1.29779973079192-π/2
    2.59559946158384-1.57079632675     		φ = 1.02480313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02480313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.716894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31455 KachelY 19490 -0.12588230 1.02480313 -7.212525 58.716894
    Oben rechts KachelX + 1 31456 KachelY 19490 -0.12578642 1.02480313 -7.207031 58.716894
    Unten links KachelX 31455 KachelY + 1 19491 -0.12588230 1.02475335 -7.212525 58.714042
    Unten rechts KachelX + 1 31456 KachelY + 1 19491 -0.12578642 1.02475335 -7.207031 58.714042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02480313-1.02475335) × R
    4.97800000001103e-05 × 6371000     		dl = 317.148380000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02480313-1.02475335) × R
    4.97800000001103e-05 × 6371000     		dr = 317.148380000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(1.02480313) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.5192671443552 × 6371000     		do = 317.195103644723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(1.02475335) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.519309686296058 × 6371000     		du = 317.221090452259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02480313)-sin(1.02475335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5192671443552-0.519309686296058)×R²
    abs(-0.12578642--0.12588230)×4.25419408585093e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25419408585093e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25419408585093e-05×40589641000000     		ar = 100602.034122647m²