Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31455 / 13471
↖ ↑ ↗
← N 72.129622°
W  7.212525°		 ← 187.45 m → N 72.129622°
W  7.207031°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 72.127936°
W  7.212525°		 ← 187.47 m →
35 136 m²		 N 72.127936°
W  7.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479972839355469 y=0.205558776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479972839355469 × 216)
    floor (0.479972839355469 × 65536)
    floor (31455.5)     		tx = 31455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205558776855469 × 216)
    floor (0.205558776855469 × 65536)
    floor (13471.5)     		ty = 13471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31455 / 13471 ti = "16/31455/13471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31455/13471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31455 ÷ 216
    31455 ÷ 65536     		x = 0.479965209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13471 ÷ 216
    13471 ÷ 65536     		y = 0.205551147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.040069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12588230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205551147460938 × 2 - 1) × π
    0.588897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85007670393645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12588230} λ = -0.12588230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85007670393645))-π/2
    2×atan(6.36030736450377)-π/2
    2×1.41484785958461-π/2
    2.82969571916921-1.57079632675     		φ = 1.25889939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12588230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.212525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25889939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.129622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31455 KachelY 13471 -0.12588230 1.25889939 -7.212525 72.129622
    Oben rechts KachelX + 1 31456 KachelY 13471 -0.12578642 1.25889939 -7.207031 72.129622
    Unten links KachelX 31455 KachelY + 1 13472 -0.12588230 1.25886997 -7.212525 72.127936
    Unten rechts KachelX + 1 31456 KachelY + 1 13472 -0.12578642 1.25886997 -7.207031 72.127936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25889939-1.25886997) × R
    2.94200000001688e-05 × 6371000     		dl = 187.434820001075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25889939-1.25886997) × R
    2.94200000001688e-05 × 6371000     		dr = 187.434820001075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(1.25889939) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.306864603093119 × 6371000     		do = 187.44869695903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12588230--0.12578642) × cos(1.25886997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.306892603538866 × 6371000     		du = 187.465801072755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25889939)-sin(1.25886997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306864603093119-0.306892603538866)×R²
    abs(-0.12578642--0.12588230)×2.80004457463012e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.80004457463012e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.80004457463012e-05×40589641000000     		ar = 35136.0157296659m²