Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31453 / 38047
↖ ↑ ↗
← S 27.834219°
W  7.223511°		 ← 540.18 m → S 27.834219°
W  7.218017°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
S 27.839076°
W  7.223511°		 ← 540.15 m →
291 761 m²		 S 27.839076°
W  7.218017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479942321777344 y=0.580558776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479942321777344 × 216)
    floor (0.479942321777344 × 65536)
    floor (31453.5)     		tx = 31453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580558776855469 × 216)
    floor (0.580558776855469 × 65536)
    floor (38047.5)     		ty = 38047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31453 / 38047 ti = "16/31453/38047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31453/38047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31453 ÷ 216
    31453 ÷ 65536     		x = 0.479934692382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38047 ÷ 216
    38047 ÷ 65536     		y = 0.580551147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479934692382812 × 2 - 1) × π
    -0.040130615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12607405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580551147460938 × 2 - 1) × π
    -0.161102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.506117786188553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12607405} λ = -0.12607405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506117786188553))-π/2
    2×atan(0.602831362113478)-π/2
    2×0.542498783881014-π/2
    1.08499756776203-1.57079632675     		φ = -0.48579876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12607405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.223511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48579876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.834219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31453 KachelY 38047 -0.12607405 -0.48579876 -7.223511 -27.834219
    Oben rechts KachelX + 1 31454 KachelY 38047 -0.12597817 -0.48579876 -7.218017 -27.834219
    Unten links KachelX 31453 KachelY + 1 38048 -0.12607405 -0.48588354 -7.223511 -27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 31454 KachelY + 1 38048 -0.12597817 -0.48588354 -7.218017 -27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48579876--0.48588354) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dl = 540.133380000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48579876--0.48588354) × R
    8.47800000000065e-05 × 6371000     		dr = 540.133380000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12607405--0.12597817) × cos(-0.48579876) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		do = 540.177355491247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12607405--0.12597817) × cos(-0.48588354) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 540.153172968917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48579876)-sin(-0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884302278339882-0.884262690120614)×R²
    abs(-0.12597817--0.12607405)×3.95882192686381e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.95882192686381e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.95882192686381e-05×40589641000000     		ar = 291761.290101922m²