Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31452 / 19708
↖ ↑ ↗
← N 58.089493°
W  7.229004°		 ← 322.86 m → N 58.089493°
W  7.223511°		 →
↑
322.88 m
↓
↑
322.88 m
↓
N 58.086589°
W  7.229004°		 ← 322.89 m →
104 250 m²		 N 58.086589°
W  7.223511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479927062988281 y=0.300727844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479927062988281 × 216)
    floor (0.479927062988281 × 65536)
    floor (31452.5)     		tx = 31452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300727844238281 × 216)
    floor (0.300727844238281 × 65536)
    floor (19708.5)     		ty = 19708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31452 / 19708 ti = "16/31452/19708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31452/19708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31452 ÷ 216
    31452 ÷ 65536     		x = 0.47991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19708 ÷ 216
    19708 ÷ 65536     		y = 0.30072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.0401611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12616992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30072021484375 × 2 - 1) × π
    0.3985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25211181807587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12616992} λ = -0.12616992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25211181807587))-π/2
    2×atan(3.49772171536524)-π/2
    2×1.29232461823999-π/2
    2.58464923647999-1.57079632675     		φ = 1.01385291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12616992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01385291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.089493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31452 KachelY 19708 -0.12616992 1.01385291 -7.229004 58.089493
    Oben rechts KachelX + 1 31453 KachelY 19708 -0.12607405 1.01385291 -7.223511 58.089493
    Unten links KachelX 31452 KachelY + 1 19709 -0.12616992 1.01380223 -7.229004 58.086589
    Unten rechts KachelX + 1 31453 KachelY + 1 19709 -0.12607405 1.01380223 -7.223511 58.086589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01385291-1.01380223) × R
    5.06799999999696e-05 × 6371000     		dl = 322.882279999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01385291-1.01380223) × R
    5.06799999999696e-05 × 6371000     		dr = 322.882279999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12616992--0.12607405) × cos(1.01385291) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528594014855644 × 6371000     		do = 322.858759569019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12616992--0.12607405) × cos(1.01380223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.528637035149903 × 6371000     		du = 322.885035838614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01385291)-sin(1.01380223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528594014855644-0.528637035149903)×R²
    abs(-0.12607405--0.12616992)×4.30202942588442e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30202942588442e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30202942588442e-05×40589641000000     		ar = 104249.614500908m²