Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31451 / 39513
↖ ↑ ↗
← S 34.710009°
W  7.234497°		 ← 502.09 m → S 34.710009°
W  7.229004°		 →
↑
502.10 m
↓
↑
502.10 m
↓
S 34.714524°
W  7.234497°		 ← 502.07 m →
252 094 m²		 S 34.714524°
W  7.229004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479911804199219 y=0.602928161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479911804199219 × 216)
    floor (0.479911804199219 × 65536)
    floor (31451.5)     		tx = 31451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602928161621094 × 216)
    floor (0.602928161621094 × 65536)
    floor (39513.5)     		ty = 39513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31451 / 39513 ti = "16/31451/39513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31451/39513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31451 ÷ 216
    31451 ÷ 65536     		x = 0.479904174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39513 ÷ 216
    39513 ÷ 65536     		y = 0.602920532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479904174804688 × 2 - 1) × π
    -0.040191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12626579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602920532226562 × 2 - 1) × π
    -0.205841064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.646668775874558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12626579} λ = -0.12626579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646668775874558))-π/2
    2×atan(0.523787728051353)-π/2
    2×0.482496191792113-π/2
    0.964992383584227-1.57079632675     		φ = -0.60580394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12626579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.234497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60580394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.710009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31451 KachelY 39513 -0.12626579 -0.60580394 -7.234497 -34.710009
    Oben rechts KachelX + 1 31452 KachelY 39513 -0.12616992 -0.60580394 -7.229004 -34.710009
    Unten links KachelX 31451 KachelY + 1 39514 -0.12626579 -0.60588275 -7.234497 -34.714524
    Unten rechts KachelX + 1 31452 KachelY + 1 39514 -0.12616992 -0.60588275 -7.229004 -34.714524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60580394--0.60588275) × R
    7.88099999999847e-05 × 6371000     		dl = 502.098509999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60580394--0.60588275) × R
    7.88099999999847e-05 × 6371000     		dr = 502.098509999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12626579--0.12616992) × cos(-0.60580394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82204458129848 × 6371000     		do = 502.094776651871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12626579--0.12616992) × cos(-0.60588275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.821999702508413 × 6371000     		du = 502.067365235766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60580394)-sin(-0.60588275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82204458129848-0.821999702508413)×R²
    abs(-0.12616992--0.12626579)×4.48787900672043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48787900672043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48787900672043e-05×40589641000000     		ar = 252094.157750487m²