Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31450 / 13334
↖ ↑ ↗
← N 72.359119°
W  7.239990°		 ← 185.12 m → N 72.359119°
W  7.234497°		 →
↑
185.08 m
↓
↑
185.08 m
↓
N 72.357455°
W  7.239990°		 ← 185.14 m →
34 263 m²		 N 72.357455°
W  7.234497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479896545410156 y=0.203468322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479896545410156 × 216)
    floor (0.479896545410156 × 65536)
    floor (31450.5)     		tx = 31450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203468322753906 × 216)
    floor (0.203468322753906 × 65536)
    floor (13334.5)     		ty = 13334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31450 / 13334 ti = "16/31450/13334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31450/13334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31450 ÷ 216
    31450 ÷ 65536     		x = 0.479888916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13334 ÷ 216
    13334 ÷ 65536     		y = 0.203460693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479888916015625 × 2 - 1) × π
    -0.04022216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12636167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203460693359375 × 2 - 1) × π
    0.59307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86321141443234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12636167} λ = -0.12636167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86321141443234))-π/2
    2×atan(6.44439921247921)-π/2
    2×1.41685059882006-π/2
    2.83370119764012-1.57079632675     		φ = 1.26290487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12636167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.239990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26290487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.359119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31450 KachelY 13334 -0.12636167 1.26290487 -7.239990 72.359119
    Oben rechts KachelX + 1 31451 KachelY 13334 -0.12626579 1.26290487 -7.234497 72.359119
    Unten links KachelX 31450 KachelY + 1 13335 -0.12636167 1.26287582 -7.239990 72.357455
    Unten rechts KachelX + 1 31451 KachelY + 1 13335 -0.12626579 1.26287582 -7.234497 72.357455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26290487-1.26287582) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dl = 185.07754999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26290487-1.26287582) × R
    2.90499999999749e-05 × 6371000     		dr = 185.07754999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12636167--0.12626579) × cos(1.26290487) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.303049923315459 × 6371000     		do = 185.118494171174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12636167--0.12626579) × cos(1.26287582) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.303077607102086 × 6371000     		du = 185.135404853207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26290487)-sin(1.26287582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303049923315459-0.303077607102086)×R²
    abs(-0.12626579--0.12636167)×2.76837866274304e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.76837866274304e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.76837866274304e-05×40589641000000     		ar = 34262.8422569788m²