Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31447 / 13243
↖ ↑ ↗
← N 72.509979°
W  7.256470°		 ← 183.59 m → N 72.509979°
W  7.250976°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 72.508328°
W  7.256470°		 ← 183.60 m →
33 698 m²		 N 72.508328°
W  7.250976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479850769042969 y=0.202079772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479850769042969 × 216)
    floor (0.479850769042969 × 65536)
    floor (31447.5)     		tx = 31447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202079772949219 × 216)
    floor (0.202079772949219 × 65536)
    floor (13243.5)     		ty = 13243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31447 / 13243 ti = "16/31447/13243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31447/13243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31447 ÷ 216
    31447 ÷ 65536     		x = 0.479843139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13243 ÷ 216
    13243 ÷ 65536     		y = 0.202072143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479843139648438 × 2 - 1) × π
    -0.040313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12664929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202072143554688 × 2 - 1) × π
    0.595855712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87193593016319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12664929} λ = -0.12664929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87193593016319))-π/2
    2×atan(6.50086945434529)-π/2
    2×1.41816709876377-π/2
    2.83633419752754-1.57079632675     		φ = 1.26553787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12664929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.256470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26553787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.509979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31447 KachelY 13243 -0.12664929 1.26553787 -7.256470 72.509979
    Oben rechts KachelX + 1 31448 KachelY 13243 -0.12655341 1.26553787 -7.250976 72.509979
    Unten links KachelX 31447 KachelY + 1 13244 -0.12664929 1.26550906 -7.256470 72.508328
    Unten rechts KachelX + 1 31448 KachelY + 1 13244 -0.12655341 1.26550906 -7.250976 72.508328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26553787-1.26550906) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dl = 183.54850999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26553787-1.26550906) × R
    2.88099999998792e-05 × 6371000     		dr = 183.54850999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12664929--0.12655341) × cos(1.26553787) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30053969340292 × 6371000     		do = 183.585116513906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12664929--0.12655341) × cos(1.26550906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30056717137195 × 6371000     		du = 183.601901471956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26553787)-sin(1.26550906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30053969340292-0.30056717137195)×R²
    abs(-0.12655341--0.12664929)×2.74779690302429e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.74779690302429e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.74779690302429e-05×40589641000000     		ar = 33698.3150238435m²