Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31446 / 14605
↖ ↑ ↗
← N 70.116091°
W  7.261963°		 ← 207.74 m → N 70.116091°
W  7.256470°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
N 70.114222°
W  7.261963°		 ← 207.76 m →
43 161 m²		 N 70.114222°
W  7.256470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479835510253906 y=0.222862243652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479835510253906 × 216)
    floor (0.479835510253906 × 65536)
    floor (31446.5)     		tx = 31446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222862243652344 × 216)
    floor (0.222862243652344 × 65536)
    floor (14605.5)     		ty = 14605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31446 / 14605 ti = "16/31446/14605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31446/14605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31446 ÷ 216
    31446 ÷ 65536     		x = 0.479827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14605 ÷ 216
    14605 ÷ 65536     		y = 0.222854614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479827880859375 × 2 - 1) × π
    -0.04034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12674516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222854614257812 × 2 - 1) × π
    0.554290771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74135581559816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12674516} λ = -0.12674516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74135581559816))-π/2
    2×atan(5.70507320865063)-π/2
    2×1.39727648204772-π/2
    2.79455296409543-1.57079632675     		φ = 1.22375664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12674516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.261963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22375664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.116091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31446 KachelY 14605 -0.12674516 1.22375664 -7.261963 70.116091
    Oben rechts KachelX + 1 31447 KachelY 14605 -0.12664929 1.22375664 -7.256470 70.116091
    Unten links KachelX 31446 KachelY + 1 14606 -0.12674516 1.22372403 -7.261963 70.114222
    Unten rechts KachelX + 1 31447 KachelY + 1 14606 -0.12664929 1.22372403 -7.256470 70.114222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22375664-1.22372403) × R
    3.26099999998775e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22375664-1.22372403) × R
    3.26099999998775e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12674516--0.12664929) × cos(1.22375664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340115471587187 × 6371000     		do = 207.738370433232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12674516--0.12664929) × cos(1.22372403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340146137318151 × 6371000     		du = 207.757100686663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22375664)-sin(1.22372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340115471587187-0.340146137318151)×R²
    abs(-0.12664929--0.12674516)×3.06657309643299e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06657309643299e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06657309643299e-05×40589641000000     		ar = 43161.3184499384m²