Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31444 / 39606
↖ ↑ ↗
← S 35.128894°
W  7.272949°		 ← 499.54 m → S 35.128894°
W  7.267456°		 →
↑
499.55 m
↓
↑
499.55 m
↓
S 35.133387°
W  7.272949°		 ← 499.51 m →
249 538 m²		 S 35.133387°
W  7.267456°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479804992675781 y=0.604347229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479804992675781 × 216)
    floor (0.479804992675781 × 65536)
    floor (31444.5)     		tx = 31444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604347229003906 × 216)
    floor (0.604347229003906 × 65536)
    floor (39606.5)     		ty = 39606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31444 / 39606 ti = "16/31444/39606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31444/39606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31444 ÷ 216
    31444 ÷ 65536     		x = 0.47979736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39606 ÷ 216
    39606 ÷ 65536     		y = 0.604339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47979736328125 × 2 - 1) × π
    -0.0404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12693691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604339599609375 × 2 - 1) × π
    -0.20867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.655585039203888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12693691} λ = -0.12693691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.655585039203888))-π/2
    2×atan(0.519138257493897)-π/2
    2×0.478840728987192-π/2
    0.957681457974385-1.57079632675     		φ = -0.61311487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12693691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.272949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61311487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.128894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31444 KachelY 39606 -0.12693691 -0.61311487 -7.272949 -35.128894
    Oben rechts KachelX + 1 31445 KachelY 39606 -0.12684104 -0.61311487 -7.267456 -35.128894
    Unten links KachelX 31444 KachelY + 1 39607 -0.12693691 -0.61319328 -7.272949 -35.133387
    Unten rechts KachelX + 1 31445 KachelY + 1 39607 -0.12684104 -0.61319328 -7.267456 -35.133387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61311487--0.61319328) × R
    7.84099999999732e-05 × 6371000     		dl = 499.550109999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61311487--0.61319328) × R
    7.84099999999732e-05 × 6371000     		dr = 499.550109999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12693691--0.12684104) × cos(-0.61311487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817859636786101 × 6371000     		do = 499.538663725582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12693691--0.12684104) × cos(-0.61319328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.817814515764343 × 6371000     		du = 499.511104357322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61311487)-sin(-0.61319328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817859636786101-0.817814515764343)×R²
    abs(-0.12684104--0.12693691)×4.51210217577991e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51210217577991e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51210217577991e-05×40589641000000     		ar = 249537.710898171m²