Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31443 / 39610
↖ ↑ ↗
← S 35.146863°
W  7.278442°		 ← 499.43 m → S 35.146863°
W  7.272949°		 →
↑
499.42 m
↓
↑
499.42 m
↓
S 35.151354°
W  7.278442°		 ← 499.40 m →
249 419 m²		 S 35.151354°
W  7.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479789733886719 y=0.604408264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479789733886719 × 216)
    floor (0.479789733886719 × 65536)
    floor (31443.5)     		tx = 31443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604408264160156 × 216)
    floor (0.604408264160156 × 65536)
    floor (39610.5)     		ty = 39610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31443 / 39610 ti = "16/31443/39610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31443/39610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31443 ÷ 216
    31443 ÷ 65536     		x = 0.479782104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39610 ÷ 216
    39610 ÷ 65536     		y = 0.604400634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479782104492188 × 2 - 1) × π
    -0.040435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12703278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.20880126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.655968534400848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12703278} λ = -0.12703278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.655968534400848))-π/2
    2×atan(0.518939208635169)-π/2
    2×0.478683923670133-π/2
    0.957367847340265-1.57079632675     		φ = -0.61342848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12703278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.278442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61342848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.146863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31443 KachelY 39610 -0.12703278 -0.61342848 -7.278442 -35.146863
    Oben rechts KachelX + 1 31444 KachelY 39610 -0.12693691 -0.61342848 -7.272949 -35.146863
    Unten links KachelX 31443 KachelY + 1 39611 -0.12703278 -0.61350687 -7.278442 -35.151354
    Unten rechts KachelX + 1 31444 KachelY + 1 39611 -0.12693691 -0.61350687 -7.272949 -35.151354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61342848--0.61350687) × R
    7.83899999999838e-05 × 6371000     		dl = 499.422689999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61342848--0.61350687) × R
    7.83899999999838e-05 × 6371000     		dr = 499.422689999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12703278--0.12693691) × cos(-0.61342848) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.817679139802236 × 6371000     		do = 499.42841837546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12703278--0.12693691) × cos(-0.61350687) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.81763401018672 × 6371000     		du = 499.400853758237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61342848)-sin(-0.61350687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817679139802236-0.81763401018672)×R²
    abs(-0.12693691--0.12703278)×4.51296155166148e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.51296155166148e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.51296155166148e-05×40589641000000     		ar = 249419.001097609m²