Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31442 / 39600
↖ ↑ ↗
← S 35.101934°
W  7.283936°		 ← 499.76 m → S 35.101934°
W  7.278442°		 →
↑
499.74 m
↓
↑
499.74 m
↓
S 35.106428°
W  7.283936°		 ← 499.73 m →
249 742 m²		 S 35.106428°
W  7.278442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479774475097656 y=0.604255676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479774475097656 × 216)
    floor (0.479774475097656 × 65536)
    floor (31442.5)     		tx = 31442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604255676269531 × 216)
    floor (0.604255676269531 × 65536)
    floor (39600.5)     		ty = 39600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31442 / 39600 ti = "16/31442/39600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31442/39600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31442 ÷ 216
    31442 ÷ 65536     		x = 0.479766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39600 ÷ 216
    39600 ÷ 65536     		y = 0.604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.04046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12712866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.20849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.655009796408447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12712866} λ = -0.12712866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.655009796408447))-π/2
    2×atan(0.519436973945364)-π/2
    2×0.479076001846669-π/2
    0.958152003693338-1.57079632675     		φ = -0.61264432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12712866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.283936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61264432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.101934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31442 KachelY 39600 -0.12712866 -0.61264432 -7.283936 -35.101934
    Oben rechts KachelX + 1 31443 KachelY 39600 -0.12703278 -0.61264432 -7.278442 -35.101934
    Unten links KachelX 31442 KachelY + 1 39601 -0.12712866 -0.61272276 -7.283936 -35.106428
    Unten rechts KachelX + 1 31443 KachelY + 1 39601 -0.12703278 -0.61272276 -7.278442 -35.106428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61264432--0.61272276) × R
    7.84400000000129e-05 × 6371000     		dl = 499.741240000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61264432--0.61272276) × R
    7.84400000000129e-05 × 6371000     		dr = 499.741240000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12712866--0.12703278) × cos(-0.61264432) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.818130309065481 × 6371000     		do = 499.756110125468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12712866--0.12703278) × cos(-0.61272276) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.81808520097058 × 6371000     		du = 499.728555778938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61264432)-sin(-0.61272276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818130309065481-0.81808520097058)×R²
    abs(-0.12703278--0.12712866)×4.51080949004368e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51080949004368e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51080949004368e-05×40589641000000     		ar = 249741.853278318m²