Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31442 / 38390
↖ ↑ ↗
← S 29.487425°
W  7.283936°		 ← 531.72 m → S 29.487425°
W  7.278442°		 →
↑
531.66 m
↓
↑
531.66 m
↓
S 29.492206°
W  7.283936°		 ← 531.70 m →
282 690 m²		 S 29.492206°
W  7.278442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479774475097656 y=0.585792541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479774475097656 × 216)
    floor (0.479774475097656 × 65536)
    floor (31442.5)     		tx = 31442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585792541503906 × 216)
    floor (0.585792541503906 × 65536)
    floor (38390.5)     		ty = 38390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31442 / 38390 ti = "16/31442/38390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31442/38390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31442 ÷ 216
    31442 ÷ 65536     		x = 0.479766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38390 ÷ 216
    38390 ÷ 65536     		y = 0.585784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.04046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12712866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585784912109375 × 2 - 1) × π
    -0.17156982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539002499327911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12712866} λ = -0.12712866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539002499327911))-π/2
    2×atan(0.583329834163281)-π/2
    2×0.528071837642655-π/2
    1.05614367528531-1.57079632675     		φ = -0.51465265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12712866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.283936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51465265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.487425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31442 KachelY 38390 -0.12712866 -0.51465265 -7.283936 -29.487425
    Oben rechts KachelX + 1 31443 KachelY 38390 -0.12703278 -0.51465265 -7.278442 -29.487425
    Unten links KachelX 31442 KachelY + 1 38391 -0.12712866 -0.51473610 -7.283936 -29.492206
    Unten rechts KachelX + 1 31443 KachelY + 1 38391 -0.12703278 -0.51473610 -7.278442 -29.492206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51465265--0.51473610) × R
    8.34499999999849e-05 × 6371000     		dl = 531.659949999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51465265--0.51473610) × R
    8.34499999999849e-05 × 6371000     		dr = 531.659949999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12712866--0.12703278) × cos(-0.51465265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87046375177315 × 6371000     		do = 531.72407105694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12712866--0.12703278) × cos(-0.51473610) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.870422671938228 × 6371000     		du = 531.69897737898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51465265)-sin(-0.51473610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87046375177315-0.870422671938228)×R²
    abs(-0.12703278--0.12712866)×4.10798349217423e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.10798349217423e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.10798349217423e-05×40589641000000     		ar = 282689.72254427m²