Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31441 / 39595
↖ ↑ ↗
← S 35.079460°
W  7.289429°		 ← 499.84 m → S 35.079460°
W  7.283936°		 →
↑
499.87 m
↓
↑
499.87 m
↓
S 35.083956°
W  7.289429°		 ← 499.81 m →
249 848 m²		 S 35.083956°
W  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479759216308594 y=0.604179382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479759216308594 × 216)
    floor (0.479759216308594 × 65536)
    floor (31441.5)     		tx = 31441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604179382324219 × 216)
    floor (0.604179382324219 × 65536)
    floor (39595.5)     		ty = 39595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31441 / 39595 ti = "16/31441/39595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31441/39595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31441 ÷ 216
    31441 ÷ 65536     		x = 0.479751586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39595 ÷ 216
    39595 ÷ 65536     		y = 0.604171752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479751586914062 × 2 - 1) × π
    -0.040496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12722453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604171752929688 × 2 - 1) × π
    -0.208343505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.654530427412247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12722453} λ = -0.12722453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.654530427412247))-π/2
    2×atan(0.519686035617606)-π/2
    2×0.479272122023031-π/2
    0.958544244046062-1.57079632675     		φ = -0.61225208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12722453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61225208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.079460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31441 KachelY 39595 -0.12722453 -0.61225208 -7.289429 -35.079460
    Oben rechts KachelX + 1 31442 KachelY 39595 -0.12712866 -0.61225208 -7.283936 -35.079460
    Unten links KachelX 31441 KachelY + 1 39596 -0.12722453 -0.61233054 -7.289429 -35.083956
    Unten rechts KachelX + 1 31442 KachelY + 1 39596 -0.12712866 -0.61233054 -7.283936 -35.083956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61225208--0.61233054) × R
    7.84600000000024e-05 × 6371000     		dl = 499.868660000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61225208--0.61233054) × R
    7.84600000000024e-05 × 6371000     		dr = 499.868660000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12722453--0.12712866) × cos(-0.61225208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.818355797015616 × 6371000     		do = 499.84171232573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12722453--0.12712866) × cos(-0.61233054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.818310702599634 × 6371000     		du = 499.814169207952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61225208)-sin(-0.61233054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.818355797015616-0.818310702599634)×R²
    abs(-0.12712866--0.12722453)×4.50944159822164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50944159822164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50944159822164e-05×40589641000000     		ar = 249848.323109752m²