Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31441 / 13327
↖ ↑ ↗
← N 72.370768°
W  7.289429°		 ← 184.98 m → N 72.370768°
W  7.283936°		 →
↑
185.01 m
↓
↑
185.01 m
↓
N 72.369104°
W  7.289429°		 ← 185 m →
34 226 m²		 N 72.369104°
W  7.283936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479759216308594 y=0.203361511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479759216308594 × 216)
    floor (0.479759216308594 × 65536)
    floor (31441.5)     		tx = 31441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203361511230469 × 216)
    floor (0.203361511230469 × 65536)
    floor (13327.5)     		ty = 13327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31441 / 13327 ti = "16/31441/13327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31441/13327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31441 ÷ 216
    31441 ÷ 65536     		x = 0.479751586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13327 ÷ 216
    13327 ÷ 65536     		y = 0.203353881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479751586914062 × 2 - 1) × π
    -0.040496826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12722453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203353881835938 × 2 - 1) × π
    0.593292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86388253102702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12722453} λ = -0.12722453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86388253102702))-π/2
    2×atan(6.44872560732876)-π/2
    2×1.41695225722372-π/2
    2.83390451444745-1.57079632675     		φ = 1.26310819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12722453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.289429°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26310819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.370768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31441 KachelY 13327 -0.12722453 1.26310819 -7.289429 72.370768
    Oben rechts KachelX + 1 31442 KachelY 13327 -0.12712866 1.26310819 -7.283936 72.370768
    Unten links KachelX 31441 KachelY + 1 13328 -0.12722453 1.26307915 -7.289429 72.369104
    Unten rechts KachelX + 1 31442 KachelY + 1 13328 -0.12712866 1.26307915 -7.283936 72.369104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26310819-1.26307915) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dl = 185.013840000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26310819-1.26307915) × R
    2.90400000000357e-05 × 6371000     		dr = 185.013840000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12722453--0.12712866) × cos(1.26310819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302856158240615 × 6371000     		do = 184.980837522548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12722453--0.12712866) × cos(1.26307915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302883834286425 × 6371000     		du = 184.997741712851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26310819)-sin(1.26307915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302856158240615-0.302883834286425)×R²
    abs(-0.12712866--0.12722453)×2.7676045810221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.7676045810221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.7676045810221e-05×40589641000000     		ar = 34225.578833461m²