Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31440 / 39536
↖ ↑ ↗
← S 34.813803°
W  7.294922°		 ← 501.52 m → S 34.813803°
W  7.289429°		 →
↑
501.46 m
↓
↑
501.46 m
↓
S 34.818313°
W  7.294922°		 ← 501.49 m →
251 484 m²		 S 34.818313°
W  7.289429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479743957519531 y=0.603279113769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479743957519531 × 216)
    floor (0.479743957519531 × 65536)
    floor (31440.5)     		tx = 31440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603279113769531 × 216)
    floor (0.603279113769531 × 65536)
    floor (39536.5)     		ty = 39536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31440 / 39536 ti = "16/31440/39536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31440/39536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31440 ÷ 216
    31440 ÷ 65536     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39536 ÷ 216
    39536 ÷ 65536     		y = 0.603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.20654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.64887387325708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.64887387325708))-π/2
    2×atan(0.522633997614709)-π/2
    2×0.481590416892388-π/2
    0.963180833784775-1.57079632675     		φ = -0.60761549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60761549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.813803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31440 KachelY 39536 -0.12732041 -0.60761549 -7.294922 -34.813803
    Oben rechts KachelX + 1 31441 KachelY 39536 -0.12722453 -0.60761549 -7.289429 -34.813803
    Unten links KachelX 31440 KachelY + 1 39537 -0.12732041 -0.60769420 -7.294922 -34.818313
    Unten rechts KachelX + 1 31441 KachelY + 1 39537 -0.12722453 -0.60769420 -7.289429 -34.818313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60761549--0.60769420) × R
    7.87099999999263e-05 × 6371000     		dl = 501.461409999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60761549--0.60769420) × R
    7.87099999999263e-05 × 6371000     		dr = 501.461409999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12722453) × cos(-0.60761549) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.821011694525983 × 6371000     		do = 501.516208698466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12722453) × cos(-0.60769420) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.820966755548556 × 6371000     		du = 501.488757657595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60761549)-sin(-0.60769420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821011694525983-0.820966755548556)×R²
    abs(-0.12722453--0.12732041)×4.4938977426856e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4938977426856e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4938977426856e-05×40589641000000     		ar = 251484.142462505m²