Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31440 / 15795
↖ ↑ ↗
← N 67.769792°
W  7.294922°		 ← 231.10 m → N 67.769792°
W  7.289429°		 →
↑
231.14 m
↓
↑
231.14 m
↓
N 67.767713°
W  7.294922°		 ← 231.12 m →
53 419 m²		 N 67.767713°
W  7.289429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479743957519531 y=0.241020202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479743957519531 × 216)
    floor (0.479743957519531 × 65536)
    floor (31440.5)     		tx = 31440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241020202636719 × 216)
    floor (0.241020202636719 × 65536)
    floor (15795.5)     		ty = 15795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31440 / 15795 ti = "16/31440/15795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31440/15795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31440 ÷ 216
    31440 ÷ 65536     		x = 0.479736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15795 ÷ 216
    15795 ÷ 65536     		y = 0.241012573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479736328125 × 2 - 1) × π
    -0.04052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12732041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241012573242188 × 2 - 1) × π
    0.517974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62726599450243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12732041} λ = -0.12732041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62726599450243))-π/2
    2×atan(5.08993975481111)-π/2
    2×1.37680116136655-π/2
    2.7536023227331-1.57079632675     		φ = 1.18280600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12732041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.294922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18280600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.769792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31440 KachelY 15795 -0.12732041 1.18280600 -7.294922 67.769792
    Oben rechts KachelX + 1 31441 KachelY 15795 -0.12722453 1.18280600 -7.289429 67.769792
    Unten links KachelX 31440 KachelY + 1 15796 -0.12732041 1.18276972 -7.294922 67.767713
    Unten rechts KachelX + 1 31441 KachelY + 1 15796 -0.12722453 1.18276972 -7.289429 67.767713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18280600-1.18276972) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dl = 231.139879999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18280600-1.18276972) × R
    3.62799999999996e-05 × 6371000     		dr = 231.139879999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12732041--0.12722453) × cos(1.18280600) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.378328883669961 × 6371000     		do = 231.102758516526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12732041--0.12722453) × cos(1.18276972) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.378362466773775 × 6371000     		du = 231.123272805194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18280600)-sin(1.18276972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378328883669961-0.378362466773775)×R²
    abs(-0.12722453--0.12732041)×3.35831038141832e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.35831038141832e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.35831038141832e-05×40589641000000     		ar = 53419.4347120643m²