Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3144 / 3032
↖ ↑ ↗
← S 65.072130°
E 96.328125°		 ← 4 119.09 m → S 65.072130°
E 96.416015°		 →
↑
4 116.24 m
↓
↑
4 116.24 m
↓
S 65.109148°
E 96.328125°		 ← 4 113.36 m →
16 943 370 m²		 S 65.109148°
E 96.416015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7677001953125 y=0.7403564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7677001953125 × 212)
    floor (0.7677001953125 × 4096)
    floor (3144.5)     		tx = 3144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7403564453125 × 212)
    floor (0.7403564453125 × 4096)
    floor (3032.5)     		ty = 3032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3144 / 3032 ti = "12/3144/3032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3144/3032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3144 ÷ 212
    3144 ÷ 4096     		x = 0.767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3032 ÷ 212
    3032 ÷ 4096     		y = 0.740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767578125 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68124294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740234375 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50943709523633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68124294} λ = 1.68124294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50943709523633))-π/2
    2×atan(0.221034364243846)-π/2
    2×0.21753670276659-π/2
    0.435073405533179-1.57079632675     		φ = -1.13572292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68124294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.328125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13572292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.072130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3144 KachelY 3032 1.68124294 -1.13572292 96.328125 -65.072130
    Oben rechts KachelX + 1 3145 KachelY 3032 1.68277692 -1.13572292 96.416015 -65.072130
    Unten links KachelX 3144 KachelY + 1 3033 1.68124294 -1.13636901 96.328125 -65.109148
    Unten rechts KachelX + 1 3145 KachelY + 1 3033 1.68277692 -1.13636901 96.416015 -65.109148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13572292--1.13636901) × R
    0.000646089999999822 × 6371000     		dl = 4116.23938999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13572292--1.13636901) × R
    0.000646089999999822 × 6371000     		dr = 4116.23938999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68124294-1.68277692) × cos(-1.13572292) × R
    0.00153398000000005 × 0.421476970654384 × 6371000     		do = 4119.08877798447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68124294-1.68277692) × cos(-1.13636901) × R
    0.00153398000000005 × 0.420890983048449 × 6371000     		du = 4113.36192897562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13572292)-sin(-1.13636901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421476970654384-0.420890983048449)×R²
    abs(1.68277692-1.68124294)×0.000585987605935201×R²
    0.00153398000000005×0.000585987605935201×6371000²
    0.00153398000000005×0.000585987605935201×40589641000000     		ar = 16943369.5274998m²