Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31438 / 13309
↖ ↑ ↗
← N 72.400689°
W  7.305908°		 ← 184.68 m → N 72.400689°
W  7.300415°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 72.399028°
W  7.305908°		 ← 184.69 m →
34 110 m²		 N 72.399028°
W  7.300415°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479713439941406 y=0.203086853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479713439941406 × 216)
    floor (0.479713439941406 × 65536)
    floor (31438.5)     		tx = 31438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203086853027344 × 216)
    floor (0.203086853027344 × 65536)
    floor (13309.5)     		ty = 13309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31438 / 13309 ti = "16/31438/13309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31438/13309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31438 ÷ 216
    31438 ÷ 65536     		x = 0.479705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13309 ÷ 216
    13309 ÷ 65536     		y = 0.203079223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.04058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12751215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203079223632812 × 2 - 1) × π
    0.593841552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86560825941335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12751215} λ = -0.12751215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86560825941335))-π/2
    2×atan(6.45986396429002)-π/2
    2×1.41721336616898-π/2
    2.83442673233796-1.57079632675     		φ = 1.26363041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12751215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26363041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.400689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31438 KachelY 13309 -0.12751215 1.26363041 -7.305908 72.400689
    Oben rechts KachelX + 1 31439 KachelY 13309 -0.12741628 1.26363041 -7.300415 72.400689
    Unten links KachelX 31438 KachelY + 1 13310 -0.12751215 1.26360142 -7.305908 72.399028
    Unten rechts KachelX + 1 31439 KachelY + 1 13310 -0.12741628 1.26360142 -7.300415 72.399028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26363041-1.26360142) × R
    2.89899999998955e-05 × 6371000     		dl = 184.695289999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26363041-1.26360142) × R
    2.89899999998955e-05 × 6371000     		dr = 184.695289999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12751215--0.12741628) × cos(1.26363041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302358422361561 × 6371000     		do = 184.676826534932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12751215--0.12741628) × cos(1.26360142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302386055337425 × 6371000     		du = 184.693704418638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26363041)-sin(1.26360142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302358422361561-0.302386055337425)×R²
    abs(-0.12741628--0.12751215)×2.76329758643334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76329758643334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76329758643334e-05×40589641000000     		ar = 34110.4986680693m²