Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31437 / 38386
↖ ↑ ↗
← S 29.468297°
W  7.311402°		 ← 531.82 m → S 29.468297°
W  7.305908°		 →
↑
531.79 m
↓
↑
531.79 m
↓
S 29.473079°
W  7.311402°		 ← 531.80 m →
282 811 m²		 S 29.473079°
W  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479698181152344 y=0.585731506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479698181152344 × 216)
    floor (0.479698181152344 × 65536)
    floor (31437.5)     		tx = 31437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585731506347656 × 216)
    floor (0.585731506347656 × 65536)
    floor (38386.5)     		ty = 38386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31437 / 38386 ti = "16/31437/38386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31437/38386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31437 ÷ 216
    31437 ÷ 65536     		x = 0.479690551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38386 ÷ 216
    38386 ÷ 65536     		y = 0.585723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479690551757812 × 2 - 1) × π
    -0.040618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12760803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585723876953125 × 2 - 1) × π
    -0.17144775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538619004130951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12760803} λ = -0.12760803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538619004130951))-π/2
    2×atan(0.583553581253151)-π/2
    2×0.528238762728008-π/2
    1.05647752545602-1.57079632675     		φ = -0.51431880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12760803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.311402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51431880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.468297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31437 KachelY 38386 -0.12760803 -0.51431880 -7.311402 -29.468297
    Oben rechts KachelX + 1 31438 KachelY 38386 -0.12751215 -0.51431880 -7.305908 -29.468297
    Unten links KachelX 31437 KachelY + 1 38387 -0.12760803 -0.51440227 -7.311402 -29.473079
    Unten rechts KachelX + 1 31438 KachelY + 1 38387 -0.12751215 -0.51440227 -7.305908 -29.473079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51431880--0.51440227) × R
    8.34700000000854e-05 × 6371000     		dl = 531.787370000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51431880--0.51440227) × R
    8.34700000000854e-05 × 6371000     		dr = 531.787370000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12760803--0.12751215) × cos(-0.51431880) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.870628035088825 × 6371000     		do = 531.824423763614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12760803--0.12751215) × cos(-0.51440227) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.87058696966626 × 6371000     		du = 531.799338889463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51431880)-sin(-0.51440227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870628035088825-0.87058696966626)×R²
    abs(-0.12751215--0.12760803)×4.10654225654339e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.10654225654339e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.10654225654339e-05×40589641000000     		ar = 282810.841869963m²