Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31437 / 13308
↖ ↑ ↗
← N 72.402350°
W  7.311402°		 ← 184.68 m → N 72.402350°
W  7.305908°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 72.400689°
W  7.311402°		 ← 184.70 m →
34 099 m²		 N 72.400689°
W  7.305908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479698181152344 y=0.203071594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479698181152344 × 216)
    floor (0.479698181152344 × 65536)
    floor (31437.5)     		tx = 31437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203071594238281 × 216)
    floor (0.203071594238281 × 65536)
    floor (13308.5)     		ty = 13308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31437 / 13308 ti = "16/31437/13308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31437/13308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31437 ÷ 216
    31437 ÷ 65536     		x = 0.479690551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13308 ÷ 216
    13308 ÷ 65536     		y = 0.20306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479690551757812 × 2 - 1) × π
    -0.040618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12760803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20306396484375 × 2 - 1) × π
    0.5938720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86570413321259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12760803} λ = -0.12760803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86570413321259))-π/2
    2×atan(6.46048332568065)-π/2
    2×1.41722785963226-π/2
    2.83445571926452-1.57079632675     		φ = 1.26365939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12760803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.311402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26365939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.402350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31437 KachelY 13308 -0.12760803 1.26365939 -7.311402 72.402350
    Oben rechts KachelX + 1 31438 KachelY 13308 -0.12751215 1.26365939 -7.305908 72.402350
    Unten links KachelX 31437 KachelY + 1 13309 -0.12760803 1.26363041 -7.311402 72.400689
    Unten rechts KachelX + 1 31438 KachelY + 1 13309 -0.12751215 1.26363041 -7.305908 72.400689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26365939-1.26363041) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26365939-1.26363041) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12760803--0.12751215) × cos(1.26365939) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.302330798663619 × 6371000     		do = 184.679215813293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12760803--0.12751215) × cos(1.26363041) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.302358422361561 × 6371000     		du = 184.696089790064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26365939)-sin(1.26363041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302330798663619-0.302358422361561)×R²
    abs(-0.12751215--0.12760803)×2.76236979418476e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.76236979418476e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.76236979418476e-05×40589641000000     		ar = 34099.1731458469m²