Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31436 / 15815
↖ ↑ ↗
← N 67.728190°
W  7.316894°		 ← 231.49 m → N 67.728190°
W  7.311402°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 67.726108°
W  7.316894°		 ← 231.51 m →
53 597 m²		 N 67.726108°
W  7.311402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479682922363281 y=0.241325378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479682922363281 × 216)
    floor (0.479682922363281 × 65536)
    floor (31436.5)     		tx = 31436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241325378417969 × 216)
    floor (0.241325378417969 × 65536)
    floor (15815.5)     		ty = 15815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31436 / 15815 ti = "16/31436/15815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31436/15815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31436 ÷ 216
    31436 ÷ 65536     		x = 0.47967529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15815 ÷ 216
    15815 ÷ 65536     		y = 0.241317749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.0406494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12770390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241317749023438 × 2 - 1) × π
    0.517364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62534851851762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12770390} λ = -0.12770390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62534851851762))-π/2
    2×atan(5.08018926871611)-π/2
    2×1.37643812102606-π/2
    2.75287624205212-1.57079632675     		φ = 1.18207992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12770390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.316894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18207992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.728190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31436 KachelY 15815 -0.12770390 1.18207992 -7.316894 67.728190
    Oben rechts KachelX + 1 31437 KachelY 15815 -0.12760803 1.18207992 -7.311402 67.728190
    Unten links KachelX 31436 KachelY + 1 15816 -0.12770390 1.18204358 -7.316894 67.726108
    Unten rechts KachelX + 1 31437 KachelY + 1 15816 -0.12760803 1.18204358 -7.311402 67.726108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18207992-1.18204358) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dl = 231.522140000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18207992-1.18204358) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dr = 231.522140000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12770390--0.12760803) × cos(1.18207992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379000895263237 × 6371000     		do = 231.489111645831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12770390--0.12760803) × cos(1.18204358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.379034523914701 × 6371000     		du = 231.509651614867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18207992)-sin(1.18204358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379000895263237-0.379034523914701)×R²
    abs(-0.12760803--0.12770390)×3.36286514645567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36286514645567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36286514645567e-05×40589641000000     		ar = 53597.2322497751m²