Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31435 / 39629
↖ ↑ ↗
← S 35.232159°
W  7.322387°		 ← 498.90 m → S 35.232159°
W  7.316894°		 →
↑
498.91 m
↓
↑
498.91 m
↓
S 35.236646°
W  7.322387°		 ← 498.88 m →
248 903 m²		 S 35.236646°
W  7.316894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479667663574219 y=0.604698181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479667663574219 × 216)
    floor (0.479667663574219 × 65536)
    floor (31435.5)     		tx = 31435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604698181152344 × 216)
    floor (0.604698181152344 × 65536)
    floor (39629.5)     		ty = 39629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31435 / 39629 ti = "16/31435/39629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31435/39629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31435 ÷ 216
    31435 ÷ 65536     		x = 0.479660034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39629 ÷ 216
    39629 ÷ 65536     		y = 0.604690551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479660034179688 × 2 - 1) × π
    -0.040679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12779977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604690551757812 × 2 - 1) × π
    -0.209381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.657790136586411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12779977} λ = -0.12779977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.657790136586411))-π/2
    2×atan(0.517994768296994)-π/2
    2×0.477939571241522-π/2
    0.955879142483045-1.57079632675     		φ = -0.61491718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12779977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.322387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61491718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.232159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31435 KachelY 39629 -0.12779977 -0.61491718 -7.322387 -35.232159
    Oben rechts KachelX + 1 31436 KachelY 39629 -0.12770390 -0.61491718 -7.316894 -35.232159
    Unten links KachelX 31435 KachelY + 1 39630 -0.12779977 -0.61499549 -7.322387 -35.236646
    Unten rechts KachelX + 1 31436 KachelY + 1 39630 -0.12770390 -0.61499549 -7.316894 -35.236646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61491718--0.61499549) × R
    7.83100000000259e-05 × 6371000     		dl = 498.913010000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61491718--0.61499549) × R
    7.83100000000259e-05 × 6371000     		dr = 498.913010000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12779977--0.12770390) × cos(-0.61491718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.816821227804397 × 6371000     		do = 498.904416219299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12779977--0.12770390) × cos(-0.61499549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.816776048975452 × 6371000     		du = 498.876821543116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61491718)-sin(-0.61499549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.816821227804397-0.816776048975452)×R²
    abs(-0.12770390--0.12779977)×4.51788289453914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51788289453914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51788289453914e-05×40589641000000     		ar = 248903.020454086m²