Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31434 / 19435
↖ ↑ ↗
← N 58.873425°
W  7.327881°		 ← 315.77 m → N 58.873425°
W  7.322387°		 →
↑
315.75 m
↓
↑
315.75 m
↓
N 58.870585°
W  7.327881°		 ← 315.79 m →
99 707 m²		 N 58.870585°
W  7.322387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479652404785156 y=0.296562194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479652404785156 × 216)
    floor (0.479652404785156 × 65536)
    floor (31434.5)     		tx = 31434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296562194824219 × 216)
    floor (0.296562194824219 × 65536)
    floor (19435.5)     		ty = 19435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31434 / 19435 ti = "16/31434/19435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31434/19435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31434 ÷ 216
    31434 ÷ 65536     		x = 0.479644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19435 ÷ 216
    19435 ÷ 65536     		y = 0.296554565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479644775390625 × 2 - 1) × π
    -0.04071044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12789565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296554565429688 × 2 - 1) × π
    0.406890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27828536526842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12789565} λ = -0.12789565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27828536526842))-π/2
    2×atan(3.59047808616888)-π/2
    2×1.29916571205592-π/2
    2.59833142411185-1.57079632675     		φ = 1.02753510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12789565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.327881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02753510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.873425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31434 KachelY 19435 -0.12789565 1.02753510 -7.327881 58.873425
    Oben rechts KachelX + 1 31435 KachelY 19435 -0.12779977 1.02753510 -7.322387 58.873425
    Unten links KachelX 31434 KachelY + 1 19436 -0.12789565 1.02748554 -7.327881 58.870585
    Unten rechts KachelX + 1 31435 KachelY + 1 19436 -0.12779977 1.02748554 -7.322387 58.870585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02753510-1.02748554) × R
    4.9559999999893e-05 × 6371000     		dl = 315.746759999318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02753510-1.02748554) × R
    4.9559999999893e-05 × 6371000     		dr = 315.746759999318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12789565--0.12779977) × cos(1.02753510) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516930435158703 × 6371000     		do = 315.767721373713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12789565--0.12779977) × cos(1.02748554) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516972859242242 × 6371000     		du = 315.793636187931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02753510)-sin(1.02748554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516930435158703-0.516972859242242)×R²
    abs(-0.12779977--0.12789565)×4.24240835390499e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24240835390499e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24240835390499e-05×40589641000000     		ar = 99706.7262155877m²