Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31433 / 13305
↖ ↑ ↗
← N 72.407332°
W  7.333374°		 ← 184.61 m → N 72.407332°
W  7.327881°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
N 72.405671°
W  7.333374°		 ← 184.63 m →
34 086 m²		 N 72.405671°
W  7.327881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479637145996094 y=0.203025817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479637145996094 × 216)
    floor (0.479637145996094 × 65536)
    floor (31433.5)     		tx = 31433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203025817871094 × 216)
    floor (0.203025817871094 × 65536)
    floor (13305.5)     		ty = 13305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31433 / 13305 ti = "16/31433/13305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31433/13305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31433 ÷ 216
    31433 ÷ 65536     		x = 0.479629516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13305 ÷ 216
    13305 ÷ 65536     		y = 0.203018188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479629516601562 × 2 - 1) × π
    -0.040740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12799152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.203018188476562 × 2 - 1) × π
    0.593963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.86599175461031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12799152} λ = -0.12799152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86599175461031))-π/2
    2×atan(6.46234176617554)-π/2
    2×1.4172713320758-π/2
    2.8345426641516-1.57079632675     		φ = 1.26374634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12799152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.333374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26374634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.407332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31433 KachelY 13305 -0.12799152 1.26374634 -7.333374 72.407332
    Oben rechts KachelX + 1 31434 KachelY 13305 -0.12789565 1.26374634 -7.327881 72.407332
    Unten links KachelX 31433 KachelY + 1 13306 -0.12799152 1.26371736 -7.333374 72.405671
    Unten rechts KachelX + 1 31434 KachelY + 1 13306 -0.12789565 1.26371736 -7.327881 72.405671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26374634-1.26371736) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26374634-1.26371736) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12799152--0.12789565) × cos(1.26374634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302247916514135 × 6371000     		do = 184.609330914811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12799152--0.12789565) × cos(1.26371736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302275540973824 × 6371000     		du = 184.626203596941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26374634)-sin(1.26371736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302247916514135-0.302275540973824)×R²
    abs(-0.12789565--0.12799152)×2.76244596886799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76244596886799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76244596886799e-05×40589641000000     		ar = 34086.270067053m²