Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31432 / 19436
↖ ↑ ↗
← N 58.870585°
W  7.338867°		 ← 315.79 m → N 58.870585°
W  7.333374°		 →
↑
315.81 m
↓
↑
315.81 m
↓
N 58.867745°
W  7.338867°		 ← 315.82 m →
99 735 m²		 N 58.867745°
W  7.333374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479621887207031 y=0.296577453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479621887207031 × 216)
    floor (0.479621887207031 × 65536)
    floor (31432.5)     		tx = 31432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296577453613281 × 216)
    floor (0.296577453613281 × 65536)
    floor (19436.5)     		ty = 19436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31432 / 19436 ti = "16/31432/19436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31432/19436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31432 ÷ 216
    31432 ÷ 65536     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19436 ÷ 216
    19436 ÷ 65536     		y = 0.29656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29656982421875 × 2 - 1) × π
    0.4068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27818949146918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27818949146918))-π/2
    2×atan(3.59013386989459)-π/2
    2×1.29914093099656-π/2
    2.59828186199312-1.57079632675     		φ = 1.02748554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02748554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.870585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31432 KachelY 19436 -0.12808740 1.02748554 -7.338867 58.870585
    Oben rechts KachelX + 1 31433 KachelY 19436 -0.12799152 1.02748554 -7.333374 58.870585
    Unten links KachelX 31432 KachelY + 1 19437 -0.12808740 1.02743597 -7.338867 58.867745
    Unten rechts KachelX + 1 31433 KachelY + 1 19437 -0.12799152 1.02743597 -7.333374 58.867745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02748554-1.02743597) × R
    4.95700000000543e-05 × 6371000     		dl = 315.810470000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02748554-1.02743597) × R
    4.95700000000543e-05 × 6371000     		dr = 315.810470000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12799152) × cos(1.02748554) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.516972859242242 × 6371000     		do = 315.793636187931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12799152) × cos(1.02743597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.517015290615757 × 6371000     		du = 315.819555455241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02748554)-sin(1.02743597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516972859242242-0.517015290615757)×R²
    abs(-0.12799152--0.12808740)×4.24313735155613e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24313735155613e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24313735155613e-05×40589641000000     		ar = 99735.0294761053m²