Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31432 / 13302
↖ ↑ ↗
← N 72.412312°
W  7.338867°		 ← 184.58 m → N 72.412312°
W  7.333374°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 72.410652°
W  7.338867°		 ← 184.59 m →
34 069 m²		 N 72.410652°
W  7.333374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479621887207031 y=0.202980041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479621887207031 × 216)
    floor (0.479621887207031 × 65536)
    floor (31432.5)     		tx = 31432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202980041503906 × 216)
    floor (0.202980041503906 × 65536)
    floor (13302.5)     		ty = 13302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31432 / 13302 ti = "16/31432/13302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31432/13302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31432 ÷ 216
    31432 ÷ 65536     		x = 0.4796142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13302 ÷ 216
    13302 ÷ 65536     		y = 0.202972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    -0.040771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12808740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202972412109375 × 2 - 1) × π
    0.59405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.86627937600803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12808740} λ = -0.12808740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86627937600803))-π/2
    2×atan(6.46420074127457)-π/2
    2×1.41731479260217-π/2
    2.83462958520434-1.57079632675     		φ = 1.26383326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12808740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.338867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26383326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.412312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31432 KachelY 13302 -0.12808740 1.26383326 -7.338867 72.412312
    Oben rechts KachelX + 1 31433 KachelY 13302 -0.12799152 1.26383326 -7.333374 72.412312
    Unten links KachelX 31432 KachelY + 1 13303 -0.12808740 1.26380429 -7.338867 72.410652
    Unten rechts KachelX + 1 31433 KachelY + 1 13303 -0.12799152 1.26380429 -7.333374 72.410652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26383326-1.26380429) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26383326-1.26380429) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12808740--0.12799152) × cos(1.26383326) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.302165060677234 × 6371000     		do = 184.577974518964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12808740--0.12799152) × cos(1.26380429) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.302192676365729 × 6371000     		du = 184.594843603153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26383326)-sin(1.26380429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302165060677234-0.302192676365729)×R²
    abs(-0.12799152--0.12808740)×2.76156884954082e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.76156884954082e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.76156884954082e-05×40589641000000     		ar = 34068.7203536687m²