Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31431 / 13509
↖ ↑ ↗
← N 72.065456°
W  7.344360°		 ← 188.08 m → N 72.065456°
W  7.338867°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 72.063764°
W  7.344360°		 ← 188.10 m →
35 374 m²		 N 72.063764°
W  7.338867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479606628417969 y=0.206138610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479606628417969 × 216)
    floor (0.479606628417969 × 65536)
    floor (31431.5)     		tx = 31431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206138610839844 × 216)
    floor (0.206138610839844 × 65536)
    floor (13509.5)     		ty = 13509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31431 / 13509 ti = "16/31431/13509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31431/13509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31431 ÷ 216
    31431 ÷ 65536     		x = 0.479598999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13509 ÷ 216
    13509 ÷ 65536     		y = 0.206130981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479598999023438 × 2 - 1) × π
    -0.040802001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12818327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206130981445312 × 2 - 1) × π
    0.587738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84643349956532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12818327} λ = -0.12818327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84643349956532))-π/2
    2×atan(6.33717762368144)-π/2
    2×1.41428790423146-π/2
    2.82857580846292-1.57079632675     		φ = 1.25777948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12818327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.344360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25777948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.065456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31431 KachelY 13509 -0.12818327 1.25777948 -7.344360 72.065456
    Oben rechts KachelX + 1 31432 KachelY 13509 -0.12808740 1.25777948 -7.338867 72.065456
    Unten links KachelX 31431 KachelY + 1 13510 -0.12818327 1.25774996 -7.344360 72.063764
    Unten rechts KachelX + 1 31432 KachelY + 1 13510 -0.12808740 1.25774996 -7.338867 72.063764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25777948-1.25774996) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25777948-1.25774996) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12818327--0.12808740) × cos(1.25777948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307930288339442 × 6371000     		do = 188.0800541303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12818327--0.12808740) × cos(1.25774996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307958373796655 × 6371000     		du = 188.097208384081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25777948)-sin(1.25774996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307930288339442-0.307958373796655)×R²
    abs(-0.12808740--0.12818327)×2.80854572137224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80854572137224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80854572137224e-05×40589641000000     		ar = 35374.1900131865m²