Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31430 / 39623
↖ ↑ ↗
← S 35.205234°
W  7.349853°		 ← 499.07 m → S 35.205234°
W  7.344360°		 →
↑
499.04 m
↓
↑
499.04 m
↓
S 35.209722°
W  7.349853°		 ← 499.04 m →
249 049 m²		 S 35.209722°
W  7.344360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479591369628906 y=0.604606628417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479591369628906 × 216)
    floor (0.479591369628906 × 65536)
    floor (31430.5)     		tx = 31430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604606628417969 × 216)
    floor (0.604606628417969 × 65536)
    floor (39623.5)     		ty = 39623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31430 / 39623 ti = "16/31430/39623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31430/39623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31430 ÷ 216
    31430 ÷ 65536     		x = 0.479583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39623 ÷ 216
    39623 ÷ 65536     		y = 0.604598999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.04083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12827914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604598999023438 × 2 - 1) × π
    -0.209197998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.65721489379097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12827914} λ = -0.12827914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.65721489379097))-π/2
    2×atan(0.51829282677531)-π/2
    2×0.478174545481606-π/2
    0.956349090963212-1.57079632675     		φ = -0.61444724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12827914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.349853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61444724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.205234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31430 KachelY 39623 -0.12827914 -0.61444724 -7.349853 -35.205234
    Oben rechts KachelX + 1 31431 KachelY 39623 -0.12818327 -0.61444724 -7.344360 -35.205234
    Unten links KachelX 31430 KachelY + 1 39624 -0.12827914 -0.61452557 -7.349853 -35.209722
    Unten rechts KachelX + 1 31431 KachelY + 1 39624 -0.12818327 -0.61452557 -7.344360 -35.209722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61444724--0.61452557) × R
    7.83300000000153e-05 × 6371000     		dl = 499.040430000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61444724--0.61452557) × R
    7.83300000000153e-05 × 6371000     		dr = 499.040430000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12827914--0.12818327) × cos(-0.61444724) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.817092241697407 × 6371000     		do = 499.069948190794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12827914--0.12818327) × cos(-0.61452557) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.817047081401038 × 6371000     		du = 499.042364834082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61444724)-sin(-0.61452557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817092241697407-0.817047081401038)×R²
    abs(-0.12818327--0.12827914)×4.51602963689179e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.51602963689179e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.51602963689179e-05×40589641000000     		ar = 249049.199067378m²