Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31430 / 13304
↖ ↑ ↗
← N 72.408992°
W  7.349853°		 ← 184.59 m → N 72.408992°
W  7.344360°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 72.407332°
W  7.349853°		 ← 184.61 m →
34 071 m²		 N 72.407332°
W  7.344360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479591369628906 y=0.203010559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479591369628906 × 216)
    floor (0.479591369628906 × 65536)
    floor (31430.5)     		tx = 31430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.203010559082031 × 216)
    floor (0.203010559082031 × 65536)
    floor (13304.5)     		ty = 13304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31430 / 13304 ti = "16/31430/13304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31430/13304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31430 ÷ 216
    31430 ÷ 65536     		x = 0.479583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13304 ÷ 216
    13304 ÷ 65536     		y = 0.2030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.04083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12827914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2030029296875 × 2 - 1) × π
    0.593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.86608762840955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12827914} λ = -0.12827914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86608762840955))-π/2
    2×atan(6.46296136513383)-π/2
    2×1.41728582024191-π/2
    2.83457164048381-1.57079632675     		φ = 1.26377531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12827914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.349853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26377531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.408992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31430 KachelY 13304 -0.12827914 1.26377531 -7.349853 72.408992
    Oben rechts KachelX + 1 31431 KachelY 13304 -0.12818327 1.26377531 -7.344360 72.408992
    Unten links KachelX 31430 KachelY + 1 13305 -0.12827914 1.26374634 -7.349853 72.407332
    Unten rechts KachelX + 1 31431 KachelY + 1 13305 -0.12818327 1.26374634 -7.344360 72.407332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26377531-1.26374634) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dl = 184.567870000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26377531-1.26374634) × R
    2.8970000000017e-05 × 6371000     		dr = 184.567870000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12827914--0.12818327) × cos(1.26377531) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.302220301332987 × 6371000     		do = 184.592463899953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12827914--0.12818327) × cos(1.26374634) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.302247916514135 × 6371000     		du = 184.609330914864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26377531)-sin(1.26374634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302220301332987-0.302247916514135)×R²
    abs(-0.12818327--0.12827914)×2.76151811476333e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.76151811476333e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.76151811476333e-05×40589641000000     		ar = 34071.3944368485m²