Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31429 / 39622
↖ ↑ ↗
← S 35.200745°
W  7.355347°		 ← 499.15 m → S 35.200745°
W  7.349853°		 →
↑
499.10 m
↓
↑
499.10 m
↓
S 35.205234°
W  7.355347°		 ← 499.12 m →
249 121 m²		 S 35.205234°
W  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479576110839844 y=0.604591369628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479576110839844 × 216)
    floor (0.479576110839844 × 65536)
    floor (31429.5)     		tx = 31429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.604591369628906 × 216)
    floor (0.604591369628906 × 65536)
    floor (39622.5)     		ty = 39622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31429 / 39622 ti = "16/31429/39622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31429/39622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31429 ÷ 216
    31429 ÷ 65536     		x = 0.479568481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39622 ÷ 216
    39622 ÷ 65536     		y = 0.604583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479568481445312 × 2 - 1) × π
    -0.040863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12837502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.604583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.20916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.65711901999173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12837502} λ = -0.12837502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.65711901999173))-π/2
    2×atan(0.518342519859826)-π/2
    2×0.478213715432941-π/2
    0.956427430865881-1.57079632675     		φ = -0.61436890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12837502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.355347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61436890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.200745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31429 KachelY 39622 -0.12837502 -0.61436890 -7.355347 -35.200745
    Oben rechts KachelX + 1 31430 KachelY 39622 -0.12827914 -0.61436890 -7.349853 -35.200745
    Unten links KachelX 31429 KachelY + 1 39623 -0.12837502 -0.61444724 -7.355347 -35.205234
    Unten rechts KachelX + 1 31430 KachelY + 1 39623 -0.12827914 -0.61444724 -7.349853 -35.205234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61436890--0.61444724) × R
    7.83399999999546e-05 × 6371000     		dl = 499.10413999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61436890--0.61444724) × R
    7.83399999999546e-05 × 6371000     		dr = 499.10413999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12837502--0.12827914) × cos(-0.61436890) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.817137402744863 × 6371000     		do = 499.149591830017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12837502--0.12827914) × cos(-0.61444724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.817092241697407 × 6371000     		du = 499.12200513734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61436890)-sin(-0.61444724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.817137402744863-0.817092241697407)×R²
    abs(-0.12827914--0.12837502)×4.51610474562214e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51610474562214e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51610474562214e-05×40589641000000     		ar = 249120.743572706m²