Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31429 / 15165
↖ ↑ ↗
← N 69.043037°
W  7.355347°		 ← 218.48 m → N 69.043037°
W  7.349853°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
N 69.041072°
W  7.355347°		 ← 218.50 m →
47 746 m²		 N 69.041072°
W  7.349853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479576110839844 y=0.231407165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479576110839844 × 216)
    floor (0.479576110839844 × 65536)
    floor (31429.5)     		tx = 31429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231407165527344 × 216)
    floor (0.231407165527344 × 65536)
    floor (15165.5)     		ty = 15165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31429 / 15165 ti = "16/31429/15165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31429/15165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31429 ÷ 216
    31429 ÷ 65536     		x = 0.479568481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15165 ÷ 216
    15165 ÷ 65536     		y = 0.231399536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479568481445312 × 2 - 1) × π
    -0.040863037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12837502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231399536132812 × 2 - 1) × π
    0.537200927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.6876664880237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12837502} λ = -0.12837502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6876664880237))-π/2
    2×atan(5.40684902581983)-π/2
    2×1.38791232110852-π/2
    2.77582464221704-1.57079632675     		φ = 1.20502832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12837502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.355347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20502832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.043037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31429 KachelY 15165 -0.12837502 1.20502832 -7.355347 69.043037
    Oben rechts KachelX + 1 31430 KachelY 15165 -0.12827914 1.20502832 -7.349853 69.043037
    Unten links KachelX 31429 KachelY + 1 15166 -0.12837502 1.20499402 -7.355347 69.041072
    Unten rechts KachelX + 1 31430 KachelY + 1 15166 -0.12827914 1.20499402 -7.349853 69.041072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20502832-1.20499402) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20502832-1.20499402) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12837502--0.12827914) × cos(1.20502832) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.357666602531746 × 6371000     		do = 218.481173503072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12837502--0.12827914) × cos(1.20499402) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.35769863335392 × 6371000     		du = 218.500739578203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20502832)-sin(1.20499402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357666602531746-0.35769863335392)×R²
    abs(-0.12827914--0.12837502)×3.20308221734567e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.20308221734567e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.20308221734567e-05×40589641000000     		ar = 47745.8018300569m²