Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31427 / 19392
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
W  7.366333°		 ← 314.62 m → N 58.995311°
W  7.360840°		 →
↑
314.60 m
↓
↑
314.60 m
↓
N 58.992482°
W  7.366333°		 ← 314.65 m →
98 984 m²		 N 58.992482°
W  7.360840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.479545593261719 y=0.295906066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.479545593261719 × 216)
    floor (0.479545593261719 × 65536)
    floor (31427.5)     		tx = 31427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295906066894531 × 216)
    floor (0.295906066894531 × 65536)
    floor (19392.5)     		ty = 19392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31427 / 19392 ti = "16/31427/19392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31427/19392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31427 ÷ 216
    31427 ÷ 65536     		x = 0.479537963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19392 ÷ 216
    19392 ÷ 65536     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.479537963867188 × 2 - 1) × π
    -0.040924072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12856676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12856676} λ = -0.12856676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12856676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.366333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31427 KachelY 19392 -0.12856676 1.02966242 -7.366333 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 31428 KachelY 19392 -0.12847089 1.02966242 -7.360840 58.995311
    Unten links KachelX 31427 KachelY + 1 19393 -0.12856676 1.02961304 -7.366333 58.992482
    Unten rechts KachelX + 1 31428 KachelY + 1 19393 -0.12847089 1.02961304 -7.360840 58.992482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02961304) × R
    4.93799999998767e-05 × 6371000     		dl = 314.599979999215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02961304) × R
    4.93799999998767e-05 × 6371000     		dr = 314.599979999215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12856676--0.12847089) × cos(1.02966242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 314.621802604428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12856676--0.12847089) × cos(1.02961304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51515054683455 × 6371000     		du = 314.647653715349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02961304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.51515054683455)×R²
    abs(-0.12847089--0.12856676)×4.23242117649769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23242117649769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23242117649769e-05×40589641000000     		ar = 98984.0792063555m²